數(shù)學思想在中學“概率統(tǒng)計”課程教學中的運用

羅勝云

摘 要：文章以中學“概率統(tǒng)計”課程相關教學內(nèi)容為研究對象，采用案例式教學方法闡述了如何在教學過程中通過數(shù)學思想的滲透，提高學生學習的興趣，激發(fā)學生學習的潛能，發(fā)揮學生學習的主觀能動性，引導學生養(yǎng)成主動發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的好習慣，對推動當前中學數(shù)學課堂教學改革具有一定的參考價值。

關鍵詞：課程教學；數(shù)學思想；“概率統(tǒng)計”

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2018-05-02

“概率統(tǒng)計”的理論與方法目前已滲透到現(xiàn)代生活的方方面面，被廣泛應用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟、軍事、科技等諸多領域，同時它又向其他學科滲透發(fā)展成為交叉學科。因此，伴隨著新一輪基礎教育課程改革的縱深推進，“概率統(tǒng)計”這門課程的入門知識被納入初等數(shù)學內(nèi)容體系，國家希望中學生掌握一定的概率統(tǒng)計思想，為今后的學習和工作打下基礎。

但在教學實踐過程中，我們通過長期觀察，發(fā)現(xiàn)當前“概率統(tǒng)計”這門課程的教學有時竟然變成單調(diào)枯燥的習題講解。雖然這種授課方式在某種程度上可以提高學生形式上的邏輯推理能力，但不能引導學生真正理解并深入思考“概率統(tǒng)計”課程內(nèi)容所蘊含的數(shù)學思想，無法發(fā)揮學生學習的主觀能動性。我們認為，一門課程的具體內(nèi)容也許會被學生遺忘，但如果教師在教學過程中能夠抓住課程的核心思想，這些精髓將會對學生今后的學習和工作起到潛移默化的作用。

數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果。數(shù)學思想是對數(shù)學事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識。數(shù)學思想具有本質(zhì)性、概括性和決定性的意義，因而，可將數(shù)學思想看作是數(shù)學的“內(nèi)核”。掌握好了數(shù)學思想這個內(nèi)核，學生的思維能力就有了內(nèi)生發(fā)展的原始動力，而思維能力是學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的源泉。在當今大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新的新時代背景下，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力至關重要，而數(shù)學思想在教學過程中的滲透無疑可以對學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)起到很好的促進作用。

一、課程內(nèi)容與教學目標

為有針對性地剖析中學“概率統(tǒng)計”課程蘊含的數(shù)學思想，我們不妨以高中數(shù)學人教A版（必修三）教材中所包含的教學內(nèi)容為研究對象，以2017年新課標的課程目標為教學目標。

教學內(nèi)容大致包括三部分：第一部分為計數(shù)原理：加法原理與乘法原理、排列組合、二項式定理；第二部分為統(tǒng)計：隨機抽樣、用樣本估計總體、變量間的相關關系、統(tǒng)計案例；第三部分為概率：隨機事件的概率、古典概型、幾何概型、離散型隨機變量及其分布列、超幾何分布、條件概率、獨立事件與乘法公式、獨立重復試驗與二項分布、離散型隨機變量的均值、方差和正態(tài)分布。

課程目標：新課程標準由以前的六大課程目標調(diào)整為現(xiàn)在的三大課程目標：①獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強創(chuàng)新意識和應用能力；②發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，學會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界；③提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神。

二、幾種常見的數(shù)學思想

為實現(xiàn)新課標的課程目標，改變傳統(tǒng)“填鴨式”單向灌輸?shù)慕虒W方式，實現(xiàn)從“要我學”到“我要學”學生學習態(tài)度的轉變和從“以教師為中心”到“以學生為主體”教師角色的轉變，下面我們以中學“概率統(tǒng)計”課程相關教學內(nèi)容為研究對象，闡述如何在教學過程中通過數(shù)學思想的滲透，讓學生領悟到數(shù)學思想的魅力。

1.史論思想

任何一門學科都有它獨特的發(fā)展歷史，“概率統(tǒng)計”也是如此。我們只有讓學生充分了解它的發(fā)展歷史，清醒認識它的發(fā)展現(xiàn)狀，才能激勵學生去探索它的未來。

我國著名數(shù)學家、數(shù)學教育家徐利治先生認為，數(shù)學思想發(fā)展史向人們揭示了數(shù)學創(chuàng)造思想的萌芽、成長、發(fā)展的客觀歷史過程，也反映了數(shù)學成果的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)制的動力、契機及其增殖發(fā)展的規(guī)律。數(shù)學思想發(fā)展史匯聚了各種數(shù)學思想方法，向人們揭示了許多經(jīng)典數(shù)學成果創(chuàng)造的過程，對拓寬學生數(shù)學領域的知識起到畫龍點睛的作用。

在中學“概率統(tǒng)計”課程教學過程中適當補充一些數(shù)學思想發(fā)展史的相關內(nèi)容，可以包括“概率統(tǒng)計”產(chǎn)生的歷史背景和發(fā)展的主要歷程，以及與內(nèi)容有關的著名數(shù)學家和他們的研究成果等。比如，在起初接觸“概率論”這門課程時，教師可以給學生介紹一下賭金分配問題，以及帕斯卡、費馬、惠更斯圍繞這一問題的討論細節(jié)；介紹“概率論”史上的第一部專著是詹姆斯·伯努利的《推測術》，它標志著數(shù)學概率論的開端；伯努利大數(shù)定律的出現(xiàn)使以往陷于零碎計算的概率知識，逐漸形成了一門統(tǒng)一的數(shù)學理論。在講授統(tǒng)計部分時，教師可向學生介紹英國數(shù)學家貝葉斯提出的貝葉斯方法，開創(chuàng)了數(shù)理統(tǒng)計的先河。

這些例子不勝枚舉，在中學“概率統(tǒng)計”的課堂教學過程中，始終貫穿史論的思想可以讓學生清晰了解這門學科的發(fā)展歷史脈絡，同時激發(fā)學生學習的濃厚興趣，讓學生積極主動探索思考未知世界。

2.辯證思想

辯證思想指人們通過概念、判斷、推理等思維形式對客觀事物辯證發(fā)展過程的正確反映。辯證思想最基本的特點是將對象作為一個整體，從其內(nèi)在矛盾的運動、變化及各個方面的相互聯(lián)系中進行考察，以便從本質(zhì)上系統(tǒng)地、完整地認識對象。辯證思想最主要的特征有普遍聯(lián)系的觀點和對立統(tǒng)一的觀點。

（1）普遍聯(lián)系的觀點。“概率統(tǒng)計”的知識點比較多，學生學起來容易顧此失彼，我們在教學過程中用普遍聯(lián)系的觀點向學生講授知識點之間的關系，一來可以加深學生對“概率統(tǒng)計”這門課程的理解，二來有利于讓學生的知識點串起來結成網(wǎng)，形成系統(tǒng)，融會貫通。例如，貝努利分布、二項分布、超幾何分布之間的聯(lián)系；幾何分布、巴斯卡分布、負二項分布之間的聯(lián)系；伽瑪分布、卡方分布、指數(shù)分布之間的聯(lián)系；古典概型和幾何概型之間的聯(lián)系；幾何分布與指數(shù)分布都具有無記憶性；二項分布、泊松分布、正態(tài)分布、伽瑪分布、卡方分布等都具有參變量的可加性。

（2）對立統(tǒng)一的觀點。“概率統(tǒng)計”這門課程研究的對象是隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象的發(fā)生隱含著必然性和偶然性。隨機現(xiàn)象的結果在多次隨機實驗中一定會發(fā)生，這其中包含著必然性，但對每一次實驗來說結果又是不確定的，具有偶然性。這種必然性和偶然性是對立統(tǒng)一的辯證關系：必然性存在于偶然性之中，通過偶然性表現(xiàn)出來；偶然性中深藏著必然性，是必然性的表現(xiàn)和補充；兩者相互依存，又在一定條件下相互轉化。

隨著“概率統(tǒng)計”這門課程研究的深入，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了很多普遍的規(guī)律，但這種普遍的規(guī)律之外也不乏一些特殊的個案。這種普遍性和特殊性也是概率統(tǒng)計課程對立統(tǒng)一辯證關系的另一種體現(xiàn)形式。例如，連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)；兩個和事件的概率為1，一般為對立事件，但也有特殊的例外情形；概率為零的事件不一定是不可能事件。

3.建模思想

一切數(shù)學概念、公式、數(shù)學理論體系以及由數(shù)學概念與符號刻畫出來的某個系統(tǒng)中的關系結構都可成為數(shù)學模型。簡單地說，模型思想就是構造模型、使用模型的思想方法。在教學中，培養(yǎng)學生借助模型思想方法解決和研究問題，并在此基礎上進一步運用想象力和創(chuàng)造力構建出新模型的能力是十分必要的。

在“概率統(tǒng)計”中，有很多經(jīng)典的數(shù)學模型為我們解決問題提供了一些基本的模式：一是由實際問題抽象概括出來的具有典型背景的模型；二是為研究實際問題而建立的實用模型。

例如，甲、乙約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車，這段時間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為1：15，1：30，1：45，2：00，如果他們約定：①見車就乘；②最多等一輛車。 求甲、乙同乘一輛車的概率。假定甲、乙兩人到達車站的時刻是互不牽連的，且每人在1時到2時的任何時刻到達車站是可能的。

思路分析：這道題的已知條件不滿足古典概率的定義，因為甲乙兩人到達的時間t是連續(xù)的，但由于開車的時刻是離散的，故我們可將連續(xù)問題離散化。記第1，2，3，4趟車開車時刻分別為1：15，1：30，1：45，2：00；到達時間記為狀態(tài)1（乘坐第一趟車，以下類推），到達時間記為狀態(tài)2，到達時間記為狀態(tài)3，到達時間記為狀態(tài)4。記X，Y分別表示甲乙兩人乘坐的公共汽車的車次，則樣本空間中基本事件（X，Y）的組合總數(shù)為42=16。對于第一種見車就乘的情形A1，從圖1不難發(fā)現(xiàn)；對于第二種情形A2，從圖2不難發(fā)現(xiàn)。

點 評：本題采用連續(xù)時間狀態(tài)離散化的方法，將非古典概率的問題轉化為古典概率，從而柳暗花明又一村，打破了固定思維的僵局。利用建模的思想，尋找原問題對應的數(shù)學模型使問題的解答簡潔明朗，思維豁然開朗。

中學“概率統(tǒng)計”課程與中學數(shù)學其他內(nèi)容比較而言，具有抽象性、復雜性等特點，學生學習起來常常感到單調(diào)枯燥，無所適從。如果在教學過程中，授課教師能夠緊緊抓住數(shù)學思想這一具有本質(zhì)性、概括性和決定性的內(nèi)在特性，則很容易激發(fā)學生的學習興趣，啟迪學生的創(chuàng)新思維，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，從而達到事半功倍的教學效果。

參考文獻：

[1]徐利治.徐利治談治學方法與數(shù)學教育[M].大連：大連理工大學出版社，2008.

[2]（俄羅斯）A.D.亞歷山大洛夫，等.數(shù)學——它的內(nèi)容，方法和意義[M].孫小禮，趙孟養(yǎng)，裘光明，等譯.北京：科學出版社，2012.

[3]張奠宙，李士锜，李 俊.數(shù)學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]徐群芳.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程教學的探索與實踐[J].大學數(shù)學，2010（1）：10-13.

[5]楊 剛，羅智明，陳內(nèi)萍.求解古典概率 培養(yǎng)創(chuàng)新意識[J].高等數(shù)學研究，2009（1）：107-109.

[6]臧立本.運用辯證思想 探究解題途徑[J].數(shù)學通報，2009（2）：34-37.

[7]楊渭清.數(shù)學史在數(shù)學教育中的教育價值[J].數(shù)學教育學報，2009（4）：31-33.