“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”教學設計（一）

王麗

“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”是人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》A版（選修）2-3第一章第二節的內容.作為高中教材課改新增內容，本課涉及數據的收集、數據的處理等統計學的基本知識，雖教學時間不長（1-2課時），但由于貼近實際生活，在高中數學中的地位不可小覷.本課內容在近幾年各省新課標高考試卷中屢屢出現，多為解答題形式.

下面呈現三篇“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”教學設計及對比評價，供讀者研究或參考.

一、教學背景與內容分析

本節內容是統計知識的進一步應用，并與課本前面提到的事件的獨立性一節關系緊密，此外還涉及到與“反證法”類似的思想，建立在統計思想、假設檢驗思想（小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生）的基礎之上.通常按照如下步驟對數據進行處理：明確問題→確定犯錯誤概率的上界α及K2的臨界值K0→收集數據→整理數據→制列聯表→計算統計量的觀測值→比較觀測值與臨界值并給出結論.

二、教學目標分析

知識與技能： 通過對典型案例的探究了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及初步應用；了解隨機變量K2的含義，并能通過K2的值對兩個分類變量進行分析；

過程與方法：借助對實際案例的探究設計解決方案，經歷案例分析的過程，體驗在解決實際問題時假設檢驗思想的合理性，提高數據分析能力；

情感、態度與價值觀：體驗數學與現實生活的聯系，增進質疑、探索的勇氣和自信，感受探究的樂趣，積累進行統計活動的經驗.

三、教學重點、難點

重點：了解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.

難點：（1）了解獨立性檢驗的基本思想；（2）了解隨機變量K2的含義，能通過K2的值對兩個分類變量進行分析.

四、教學策略與方法

以“問題”的形式層層設疑；用已經學過的回歸分析和設置的案例為引，循序漸進地引導學生探究；多媒體輔助教學.

五、教學問題診斷分析

1. K2的結構比較奇怪，出現得比較突然，學生可能會提出疑問.對這個問題的處理，要利用好前面對“比例”和兩個分類變量“獨立”的分析. K2的具體構造過程比較復雜，無法在課堂上具體推導，可以當做課后學習內容.課堂上只定性指出K2是一個連續性隨機變量，服從另一個常見的連續性隨機變量的分布——K2分布.統計學家給出的臨界值表也是依據積分的方法給出的概率值，與之前學過的正態分布類似.

2. 對獨立性檢驗的基本思想的理解要和反證法做一個對比，可以讓學生通過完成表格（印在學案上）對二者的基本思想做比較并加以區別.

3.為什么在表達結論的時候要出現“在犯錯誤的概率不超過XX的前提下”？原因在于獨立性檢驗的過程中存在一個小小的漏洞，就是假設“在一次實驗中，小概率事件不發生”，而事實上小概率事件是可能發生的（用反證法可以推出，如果始終不發生，就是不可能事件了），而正是因為這一點點漏洞，導致獨立性檢驗的結果可能是錯誤的，但是犯錯誤的概率不會太大，我們就把犯錯誤的最大概率等同于小概率事件發生的概率了.

六、教學設計

（一）引入新課

以“吸煙有害健康，勸吸煙者戒煙”為引子，幫助學生快速進入問題情境.

探究：吸煙與是否患肺癌有關系嗎？請設計一個調查方案.

問題1：怎樣判斷兩個變量是否有關系？

由定量變量、分類變量，定量變量—回歸分析，分類變量—獨立性檢驗引出調查思路.

設計意圖：引導學生在解決問題的過程中理解獨立性檢驗的基本思想，讓學生主動思考、積極參與、互相指導、互相學習.

問題2：判斷吸煙與是否患肺癌的獨立性需要哪幾項數據？

設計意圖：引出列聯表以及列聯表的定義，強調高中數學只研究2×2列聯表.

（二）案例探究

調查報告1：某同學共調查了15個人，不吸煙的13人中沒有人患肺癌，吸煙的2人中有1人患肺癌.

設計意圖：通過對吸煙者的質疑指出：樣本容量越大與總體的近似程度越高，在實際問題的研究中通常要求每一組數據都不小于5.

調查報告2：為研究吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了9 965人.

列聯表是分類變量的匯總統計表（頻數表），一般將每個分類變量只取兩個值的列聯表稱為列聯表 .

問題3：觀察此列聯表，你能從中獲取吸煙與患肺癌有關系的信息嗎？

通過比重粗略判定兩者有關，再由圖形（等高條形圖、三維柱形圖、二維條形圖）直觀展示，粗略判定兩個分類變量有關.

設計意圖：引導學生借助已學知識對兩個分類變量是否有關進行探究，不同的思路會得出不同的探究結果.

問題4：若用字母代替表格中的數據，在吸煙與患肺癌沒有關系這一前提下，a，b，c，d應該滿足什么關系式呢？

ad≈bc

從兩方面進行分析：（學生分組進行驗證）

（1）吸煙者中患肺癌的比重和不吸煙者患肺癌的比重的比較；

（2）事件的相互獨立性P（AB）=P（A）P（B）得出.

因此│ad-bc│越小，說明關系越弱；│ad-bc│越大，說明關系越強.

質疑：“大”的標準是什么？這種判斷太粗糙了，抽樣調查可靠嗎？

設計意圖：讓學生通過自主探究獲得粗略判斷“是否有關”的方法，通過吸煙者的質疑突出強調進行獨立性檢驗的必要性.

為了使不同樣本容量的數據有統一的評判標準，基于上述分析，我們構造一個隨機變量K2=■，其中n=a+b+c+d，為樣本容量.

問題5：根據以上分析，若“吸煙與患肺癌無關”，則K2應該——（填“大”或“小”）.由公式計算得到K2的觀測值k為56.632，它應該和誰比大小？

問題6：56.632遠遠大于6.635，這樣的情況下，你認為H0成立嗎？

問題7：你認為“吸煙與患肺癌有關系”這種判斷會犯錯誤嗎？犯錯誤的概率是多少？

設計意圖：一是使學生意識到犯錯誤概率是進行獨立性檢驗中不可缺少的數據，缺了它將來就沒有了參照的標準；二是讓學生了解獨立性檢驗中因為有“認為小概率事件不可能發生”的觀點而存在漏洞，從而存在犯錯誤的風險.我們認為犯錯誤的概率不會超過小概率事件的發生概率，因此在結論中會這樣描述：“在犯錯誤的概率不超過XX的前提下，我們認為XXX.”

實際上借助于隨機變量K2的觀測值k，建立了一個判斷H0 是否成立的規則：如果K≥6.635，就判斷H0不成立，即吸煙與患肺癌有關系；否則就判斷H0成立，即吸煙與患肺癌沒有關系，也稱“在樣本數據中沒有發現足夠證據說明兩者有關系” .在該規則下，把結論“成立”錯判成“不成立”的概率不會超過P（K2≥6.635）≈0.01，即有99%把握認為H0 不成立（強調99%的含義）.

獨立性檢驗的定義：這種利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量是否有關系”的方法，稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

（三）歸納提升

問題8：能否認為在推斷錯誤的概率不超過0.001的前提下得出“有關”的結論？k到底應該和誰比大小呢？

在成立的條件下有：

設計意圖：讓學生熟悉理解獨立性檢驗的基本思想和K2的不同臨界值的作用；解讀臨界值表，強調根據實際問題需要確定容許推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤概率的上界，然后查表確定臨界值K.

總結并板書獨立性檢驗的一般步驟：

第一步：收集數據得到列聯表，提出假設H0：兩個分類變量無關；

第二步：利用卡方公式計算隨機變量K2的觀測值k；

第三步：查臨界值表得出結論.：如果k≥k0，就判斷“X與Y有關系”，這種判斷犯錯誤的概率不超過P（K2≥k0），否則，就認為在犯錯誤的概率不超過P（K2≥k0）的前提下不能推斷“X與Y有關系”，或者在樣本數據中沒有發現足夠證據支持結論“X與Y有關系”.

（四）理論對比

設計意圖：使學生了解歸納獨立性檢驗的一般步驟，對比體會反證法原理與獨立性檢驗原理，幫助學生更好地理解獨立性檢驗思想.

（五）習題演練（略）

（六）直擊高考（略）

（七）課堂小結

（八）課后思考

1.K2是如何構造出來的？

2.定義W=││，如何用W構造一個判斷“X和Y有關系” 的新規則？