整合教材資源 優化習題設計

彭曉丹

【摘 要】數學習題是課堂教學的重要組成部分，它不但能幫助學生鞏固、熟練、活化基礎知識，加深他們對數學知識的理解，而且是培養學生數學思維的重要載體?！叭切蝺冉呛汀本毩曊n的習題如何選擇才能更好地按認知規律組織學生進行訓練，發展學生的數學思維？教師可以對“三角形內角和”不同教材的習題從習題類型、習題數量和習題異同點三方面進行比較分析，從而為練習課的習題優選提供啟示。

【關鍵詞】教材比較；練習課；習題設計；三角形內角和

數學習題是課堂教學的重要組成部分，它不但能幫助學生鞏固、熟練、活化基礎知識，加深他們對數學知識的理解，而且是培養學生數學思維的重要載體。習題設計要能體現出練習的價值，為學生的學習提供幫助。本文以現行小學數學各版本中“三角形內角和”一課為例，對其中的習題部分進行比較分析，以了解不同教材的編寫特點，為練習課的習題設計提供參考，并在此基礎上來談練習課的習題優選。

一、現行不同教材的習題比較

（一）進行比較的教材

本文試圖對人教版、浙教版、蘇教版、青島版、北師大版、西南師大版這六套小學數學現行教材中“三角形內角和”這一內容所在單元涉及的與“三角形內角和”有關的習題進行整理，并從習題類型、習題數量和各版本習題的異同點三個方面進行比較研究。

（二）習題的類型

根據習題的功能，我們將各個版本設計的習題類型分為如下3類。

1.基礎型

①根據“三角形內角和等于180°”這一性質進行簡單計算。已知三角形其中兩個角，求第三個角。②明確三角形內角和與三角形的形狀無關。

2.綜合型

綜合利用“三角形內角和”“三角形分類中特殊三角形的性質”來解決問題。

3.探究型

①用“三角形內角和”說明一個三角形中最多只有一個直角、一個鈍角。②探索多邊形的內角和。

（三）習題數量對比分析

從表1中可以看出：

第一，蘇教版在這一單元涉及“三角形內角和”的習題數量最多，西南師大版次之，這兩個版本的基礎型習題數量也是明顯多于其他版本教材的。因為這兩個版本教材安排上是先上“三角形的內角和”，再上“三角形的分類”，故在“三角形內角和”課后安排了一定數量的基礎性習題。

第二，浙教版、青島版基本型習題最少，重視綜合型習題和探究型習題，注重讓學生建立知識間的聯系，培養學生靈活運用所學知識解決問題以及進行說理、推理的能力。浙教版的探究型習題是最多的。

第三，人教版、北師大版的習題數量安排相仿。特別說明，因為人教版中“四邊形內角和”一課單獨作為例題，在該節課后探索五邊形、六邊形、七邊形……內角和，故在習題統計時未將多邊形的內角和作為“三角形內角和”的習題，因而人教版“三角形內角和”的探究型習題數量為0。

（四）各版本習題的異同

從表2中可以看到各版本“三角形內角和”習題考查目標有以下異同點。

1.相同點

（1）都有直接應用“三角形內角和是180°”這一性質來計算求解的基礎性習題。已知三角形中兩個內角的度數，利用“三角形內角和是180°”，求出第三個角的度數。這類習題強化學生對“三角形內角和等于180°”的認識，掌握求三角形中未知角度數的思考方法。并且其中均有涉及“已知一個直角三角形的一個銳角，求另一個銳角的度數”，盡可能讓學生掌握直接用90°減去已知銳角的度數，求出另一個銳角的度數這一簡便算法，培養學生靈活運用所學知識解決問題的能力。

（2）都有綜合利用“三角形內角和的性質”和“三角形分類”的知識來解決問題的習題。

主要類型有：根據等腰三角形中已知角（底角或頂角）的度數，求未知角（頂角或底角）的度數；求等邊三角形的內角；已知三角形其中2個內角，判斷是什么類型的三角形。這樣的習題鞏固特殊三角形的特征，又增強了“三角形內角和性質”的運用。

2.不同點

（1）在對“三角形內角和是180°”的含義的考查上有所不同。

人教版安排了“把1個大三角形分割成2個小三角形，求每個小三角形的內角和”的習題。蘇教版安排的習題有“用兩塊完全一樣的三角尺拼一個三角形，求拼成的三角形內角和度數”“將正方形不斷對折成等腰直角三角形，求三角形的內角和”“用兩塊完全一樣的三角尺拼內角和是180°的圖形”。北師大版安排的習題有“把兩個相同的三角尺分別拼成一個四邊形和一個三角形，先想、再量、后算它們的內角和”“將長方形紙對折剪三角形，再將大三角形不斷剪小，使其形狀與大小不斷變化，填寫三角形內角和”。西南師大版安排了“把兩塊完全一樣的三角板，拼成一個三角形，求三角形的內角和”的習題。

這四個版本均有涉及幫助學生進一步理解“三角形內角和是180°”的含義的習題，體會三角形的內角和與三角形的形狀、大小無關，幫助學生積累一些圖形變換的經驗。其他兩個版本沒有涉及。

（2）在梳理“三角形內角和是180°”探索過程的考查上有所不同。

北師大版結合對課上探索活動的回顧，交流體會，明晰三角形內角和是180°，總結解決問題的方法。其他版本沒有涉及。

（3）在對學生綜合運用所學知識進行推理這一能力的考查上有所不同。

浙教版安排了“思考一個三角形中是否可能有兩個直角或鈍角”的習題。北師大版安排了判斷“鈍角三角形兩個銳角之和大于90°”和“直角三角形兩個銳角之和等于90°”這兩句話是否正確的習題。

這兩個版本習題中都有綜合運用“三角形內角和”“三角形分類特征”等所學知識進行推理，提高學生解決問題的能力的題目。其他版本沒有涉及。

（4）在對四邊形或者多邊形內角和推導的考查上有所不同。

浙教版安排了“把一個三角形截去一個內角后，變成一個四邊形，求四邊形內角和” 的習題。蘇教版安排了“用兩塊完全相同的三角尺拼內角和分別是180°、360°的圖形”的習題。青島版安排了“根據三角形內角和是180°，推算長方形和正方形內角和”的習題。西南師大版安排了“根據三角形、四邊形的內角和，推導五邊形、六邊形內角和”的習題。

浙教版、蘇教版、青島版在習題中均有根據三角形內角和是180°，觀察、推算出四邊形的內角和。西南師大版在習題中分析多邊形的邊數與三角形個數之間的關系，體會計算多邊形內角和的一般方法，不歸納多邊形內角和的公式。人教版中“四邊形內角和”作為例題教學已在前面說明。蘇教版 “多邊形內角和”作為“綜合實踐課”進行教學，所以習題中只有一道四邊形的內角和。北師大版沒有涉及四邊形或者多邊形的內角和的習題。

二、對練習課的習題優選的啟示

通過對以上六個版本不同教材習題的分析與比較，可以為練習課的習題優選提供如下啟示。

（一）基礎型練習的安排，應該強化學生對“三角形內角和等于180°”的認識，掌握求三角形中未知角度數的思考方法

比如，已知三角形中兩個角的度數，利用“三角形內角和是180°”，求出第三個角的度數或者判斷三角形的類型；已知一個直角三角形的一個銳角，求另一個銳角的度數；在三角形的分與合的過程中，求三角形的內角和等。但是此類習題安排時要注意適量，注意習題形式的改變，培養學生思維的靈活性。另外，無論是三角形內角和性質的探索還是理解，以及探索多邊形的內角和，學生對于“內角”概念的理解都非常重要，因此練習課習題設計時要注重學生對于“內角”這一概念的理解。

（二） 綜合型習題的安排，應該培養學生綜合運用“三角形內角和的性質”“特殊三角形的性質”等所學知識進行推理，提高學生解決問題的能力

有兩個版本的習題涉及學生用所學的知識進行推理、說理能力的培養，這也是我們在練習課上應該加以重視的。比如“根據等腰三角形中已知角（底角或頂角）的度數，求未知角（頂角或底角）的度數”； 思考一個三角形中是否可能有兩個直角或鈍角。培養學生的語言表達能力，關注學生說理的條理性、邏輯性是數學教學的一個重要方面。在練習課上教師應當適當培養學生說理的能力?！拔沂窃鯓幼龅模俊薄拔覟槭裁催@樣做？”“這樣做的結論是什么？”學生在表達自己的想法和做法的過程中，培養了思維的條理性，明確教材編者的意圖。

（三）探究型習題的安排，應該培養學生關注知識的聯系，注重學生數學思想的系統性的建構

比如，從學習三角形的內角和到探索四邊形的內角和乃至多邊形的內角和，由內角拓展到外角，有利于學生感受圖形內部角之間的聯系，幫助學生將所學知識系統化。將三角形內角和的性質和三角形的分類進行綜合練習，將三角形內角和與圖形特征建立起聯系，也體現了知識的內在聯系。教師在教學時，應當有意識地培養學生關注知識的聯系，注重學生數學思想的系統性的建構。

三、“三角形內角和”練習課的習題優選

心理學研究者指出，知識只有組織成系統，才會被學生迅速、準確而牢固地記憶并遷移，而這個系統應該是有序的、有層次的。所以在設計練習題時先模仿，再變式，然后綜合應用，最后再進行開放題的探究，注重知識的靈活運用，發散學生的思維。另外，練習題設計應盡可能注重與生活的聯系，在學生生活經驗的基礎上設置相關練習題，提高練習題的生活味，讓學生體會到數學與生活的密切聯系。這樣，學生才能更加深刻地理解所學知識，保持學習的動力。

（一）基礎型習題的優選

1.回顧思維歷程，加深性質理解

（1）三角形內角和等于多少？我們是用什么方法進行探索的？

（設計意圖：通過對三角形內角和探索活動的回顧，交流體會，明晰三角形內角和是180°，總結解決問題的方法。）

（2）①如圖，用兩把完全相同的三角尺拼成一個三角形，拼成的三角形內角和是多少度？

②用一張長方形紙剪一剪，再填一填。

（設計意圖：三角形分與合的過程中，三角形的形狀和大小不斷變化，加深對三角形內角和性質的理解，激活學生的思維。）

2.應用性質計算，提高計算能力

（1）下面每組角是同一個三角形的內角嗎？如果是，請指出它是什么三角形。

①∠1=120°，∠2=30°，∠3=30°

②∠1=90°，∠2=40°，∠3=50°

③∠1=85°，∠2=55°，∠3=50°

④∠1=55°，∠2=60°，∠3=60°

（設計意圖：應用三角形內角和性質進行判斷，讓學生明確要構成一個三角形，三個角加起來的度數必須是180°。此題靈活應用“三角形內角和是180°”來解決問題，提高三角形內角和性質的應用能力。）

（2）算出下面未知角的度數。

（設計意圖：利用“三角形內角和是180°”，求出第三個角的度數，強化學生對“三角形內角和等于180°”的認識，掌握求三角形中未知角度數的思考方法。安排“已知一個直角三角形的一個銳角，求另一個銳角的度數”，盡可能讓學生掌握直接用90°減去已知銳角的度數，求出另一個銳角的度數這一簡便算法，培養學生靈活運用所學知識解決問題的能力。）

（3）你能根據每個三角形中已知的兩個銳角的度數，判斷各是什么三角形嗎？

（設計意圖：靈活運用三角形內角和的性質，把三角形兩個銳角的和與90°進行比較，快速進行判斷，培養解題思維的靈活性。）

（二）綜合型習題的優選

1.應用性質解題，培養發散思維

（1）有一個等腰三角形的風箏，它的底角是30°，它的頂角是多少度？

（2）埃及金字塔的四個側面的形狀都是等腰三角形，每個等腰三角形的頂角約是52°。金字塔每個側面的底角是多少度？

（3）已知等腰三角形的一個內角是40°，它的另外兩個內角是多少度？

變式：已知等腰三角形的一個內角是60°，它的另外兩個內角是多少度？

（設計意圖：根據等腰三角形中已知角（底角或頂角）的度數，求未知角（頂角或底角）的度數，特別是有一個角是60°的等腰三角形的內角的度數。這樣的題目綜合利用“三角形內角和的性質”和“三角形分類”的知識來解決問題，幫助學生進一步鞏固等腰三角形和等邊三角形的特征，培養靈活運用所學知識解決問題的能力，培養邏輯思維，提高解題思維的靈活性。）

2.應用性質說理，提高推理能力

（1）它們說得對嗎？

（2）想一想：一個三角形中可能有兩個直角或鈍角嗎？為什么？

（設計意圖：運用三角形內角和是180°進行分析推理，加深對“一個三角形中至少有兩個銳角”的理解，培養學生的邏輯性思維和數學語言表達能力。在解決數學問題和同伴交流的過程中，發展數學交流的能力，感受成功的喜悅，增強學好數學的信心。）

（三）拓展型習題的優選

1.綜合應用性質，培養邏輯思維

填一填。

（設計意圖：這些題目具有較強的綜合性，學生要靈活運用所學知識解題，既鞏固三角形內角和的性質、等腰三角形的特征、平角等相關知識，還適度拓展外角的知識，提高思維的有序性和靈活性。在拓展應用的過程中，體會三角形內角和及相關數學方法的價值，注重數學思想系統性的建構，進一步產生對數學的好奇心，感受數學活動的挑戰性和趣味性，增強數學學習的興趣。）

2.經驗遷移，系統建構數學思想

請用你喜歡的方法來探索五邊形的內角和。

想一想，如果是六邊形、七邊形呢？

（設計意圖：根據三角形內角和是180°，利用轉化思想求解，推算多邊形的內角和，培養學生的探究推理能力。在類比遷移的過程中，積累探索和發現數學規律的經驗，感悟數學思想方法，培養學生的發散性思維和探究推理能力。）

這些習題的設計，注重學生知識的理解與靈活運用，培養學生的邏輯思維和數學語言表達能力，注重數學思想習題性的建構。習題設計時關注學生的思維與思考，讓學生自己在操作中感悟，在比較中選擇，從而成為一個“會想”的人。數學不單單是“會做”，還要讓學生在學習中感受到喜悅。

總之，對不同教材的習題進行比較，博采眾長，可以便于教師更好地整合教材資源，服務于教學設計。

參考文獻：

[1]陳永明名師工作室.數學習題教學研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[2]人民教育出版社.義務教育教科書數學教師教學用書（四年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]張天孝.義務教育小學實驗教科書數學教學參考書（四年級下冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[4]南京東方數學教育科學研究所.義務教育教科書數學教師教學用書（四年級下冊）[M]. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

（浙江省臺州市白云小學 318001）