由省賽題談數列“凸性”的簡單應用*

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(嚴州中學新安江校區,浙江 建德 311600)

2018年浙江省高中數學競賽已經落幕，縱觀全卷，難度較2017年明顯下降.筆者對第13題的數列不等式題產生了興趣.

(2018年浙江省高中數學競賽試題第13題)

1 證法探究

本題的證明并不難，參考答案提供的是反證法，證法如下：

1)若x1 009,x1 010同為正數，由xn,xn+2同號可知:x1,x2,…,x2 018同為正.

從而

即

x1 009x1 010≤x1 011x1 008，

于是

x1 011x1 008>1.

即

x1 007x1 012>1，

2)若x1 009,x1 010同為負數，由xn,xn+2同號可知：x1,x2,…,x2 018都為負數，故

即

由情形1)知不等式成立.

賽后跟學生交流，發現學生的想法也很不錯，筆者略作整理，得到如下兩種證法：

1)若x1 009·x1 010<0，則結論顯然成立.

2)若x1 009·x1 010>0，則x1,x2,…,x2 018全同號，不妨設全為正數(若為負數，則可用-xi代替xi，不影響結果).

從而xn+k+1xn-k≤xn+k+2xn-k-1(其中0≤k≤n).

取n=1 009，得

x1 009x1 010≤x1 008x1 011≤x1 007x1 012≤…≤x1x2 018，

從而

即

x1 009x1 010≤1.

bn+2-bn+1≥bn+1-bn，

即數列{bn+1-bn}單調不減,則

其中k=1,2,…,1 009,即

b1 009+b1 010≤bk+b2 019-k,

對k求和得

即

故

b1 009+b1 010≤0.

2 題源探究

定義若實數列{an}滿足ak-1+ak+1≥2ak(其中k=1,2,…)，則稱數列{an}為下凸數列，簡稱凸數列，當且僅當{an}為等差數列時，等號對所有k∈N*成立.

由定義可知，對于實數列{an}，若Δan=an+1-an(其中n=0,1,2,…)，則數列{an}為凸數列的充要條件是數列{Δan}為單調不減數列.

因為等差數列是特殊的凸數列，那么一般的凸數列是否具備類似等差數列的性質呢？從證法3可得到凸數列的一個重要性質：

性質1若數列{an}為凸數列，滿足1≤m

證明因為n>q≥p>m≥1，又{an+1-an}單調不減，所以

即

an-aq≥ap-am，

結論成立.

此外還有一些類似等差數列的性質，在此不再一一例舉.在一些大型的考試中，也屢見凸數列的“身影”，下面試舉兩例來說明.

3 用“凸性”研究真題

真題1設實數x1,x2,…,x30滿足x1=1，x30=88,2xn+1≤xn+xn+2(其中n=1,2,…,28),求x10的最大可能值.

(2018年中國女子數學奧林匹克浙江省選拔試題第3題)

解由題意知數列{xn}為凸數列，故{xn+1-xn}是單調不減數列，令Δxn=xn+1-xn，則

Δx1≤Δx2≤…≤Δx29，

且

Δx1+Δx2+…+Δx29=87，

即

Δx1+Δx2+…+Δx9≤27，

故

x10=x1+(Δx1+Δx2+…+Δx9)≤28.

(2008年上海市春季數學高考試題第21題)

證明易知

bn=(1,an+1-an)·(0,1)=an+1-an,

bn+1=an+2-an+1，

因為bn+1>bn,所以

an+2-an+1>an+1-an，

即數列{an}為“下凸數列”.要證

即證

aq-ap>an-am.

由于q-p=n-m，將所證不等式改寫為

由{an+1-an}的遞增性，知結論顯然成立.

4 由“凸性”研究等差、等比數列的統一性質

在研究完兩個真題后，筆者感到意猶未盡，在翻閱文獻時，發現在文獻[1]中給出等差、等比數列的一些統一性質，其論證過程比較麻煩.經過嘗試，筆者發現若利用凸數列的性質來證明，可以極大地簡化證明過程.

性質2正項等差數列或等比數列{an}中，當m+n=p+q,m

證明1)若{an}為等比數列，則顯然有

aman=apaq.

2)若{an}為正項等差數列，設an=pn+q(其中p>0)，則令bn=-lnan，考慮

f(x)=-ln (px+q)(其中x>0),

p,q為常數，則

從而f(x)為凸函數，故數列{bn}是凸數列，則

bm+bn≥bp+bq，

即

-lnam-lnan≥-lnap-lnaq，

亦即

aman≤apaq.

性質3正項等差數列或等比數列{an}中，當m+n=p+q,m

證明1)若{an}為等差數列，則顯然有

am+an=ap+aq.

2)若{an}為正項等比數列，設an=a1qn-1(其中a1>0,q>0)，顯然數列{a1qn-1}是凸數列，則am+an≥ap+aq.

性質4設正項等差數列或等比數列的前n項和為Sn，則當m+n=p+q,m

從而f(x)為凸函數，故數列{-lnSn}是凸數列，于是

-lnSm-lnSn≥-lnSp-lnSq，

即

SmSn≤SpSq.

則

從而f(x)為凸函數，故{-lnSn}是凸數列，即

-lnSm-lnSn≥-lnSp-lnSq，

于是

SmSn≤SpSq.

性質5設正項等差數列或遞增等比數列的前n項和為Sn，則當m+n=p+q,m

2)若{an}為正項等比數列且q=1，則顯然有

Sm+Sn=Sp+Sq.

此外通過性質2～5的證明，筆者還發現了與凸數列有關的等差、等比的其他一些性質：

由于性質6～8的證明過程和性質1～5類似，故在此不再贅述.在性質2～8中對于等差、等比數列還有一定的限制，那么對于更一般的等差、等比數列，上述性質還成立嗎？由于筆者能力有限，未能給出結果，請同行幫忙證明.