一道浙江省數(shù)學競賽題的“源”與“流”*

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(杭州學軍中學，浙江 杭州 310012)

2018年浙江省高中數(shù)學競賽頒獎大會已經(jīng)結(jié)束，筆者有幸參加了此次會議，并在會議上做了一個20分鐘的講座，內(nèi)容是對一道省賽題的思考.會后筆者與一些專家和同行進行了交流，講座的內(nèi)容反應(yīng)良好，故筆者將其整理成文，和讀者分享.

題目將2n(其中n≥2)個不同整數(shù)分為2組：a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn，證明：

(2018年浙江省高中數(shù)學競賽試題第14題)

1 源頭和背景

本題是一個改編題，經(jīng)過搜索，筆者找到了該題的源頭.

源題證明：對于2n(其中n≥2)個不同實數(shù)a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn,有

(1999年波蘭數(shù)學奧林匹克試題第二天第2題)

該題的2n個數(shù)是實數(shù)，而浙江省賽題是2n個整數(shù)，整數(shù)與實數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在于整數(shù)具有離散性，即任意兩個不同整數(shù)之差的絕對值不小于1，也正因為如此，省賽題中不等式右邊的代數(shù)式才會有一個正的下界.

會后，筆者和命題組教師進行了交流，得知該競賽題的背景來源于高等數(shù)學中的矩陣[1].不妨設(shè)a1

其中矩陣LT為矩陣L的轉(zhuǎn)置,于是

|ai-bj|+|aj-bi|-aj+ai-bj+bi=(|ai-bj|+ai-bj)+(|aj-bi|+bi-aj)≥0,

故對任意i,j∈{1,2,…,n},有

|ai-bj|+|aj-bi|≥|ai-aj|+|bi-bj|.

(1)

由式(1)可知，Tn≥‖S‖≥n.

由此可知，源題的結(jié)論也成立.此證明過程簡潔明了，但因背景涉及到高等數(shù)學，故命題組給出了一個較為復(fù)雜的初等證明方法.

2 解法

1)當n=2時，不妨設(shè)a1

T2=|b2-a1|+|b2-a2|+|b1-a1|+|b1-a2|-|a2-a1|-|b2-b1|.

①當a1

②當a1>b1時，T2=b2-a2+a1-b1+|b1-a2|+b1-a2≥2.

2)假設(shè)當n時命題成立，即有Tn≥n；當n+1時，不妨設(shè)a1

(2)

①若存在k，使得bk

即式(2)成立.

②類似可證，當an+1

綜上所述，式(2)成立，故Tn+1>n+1，即原不等式得證.

評注由于原問題是一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，故考慮用數(shù)學歸納法.證明過程條理清晰，但歸納過渡部分的分類討論難度較高，給人以入手容易走出難之感.筆者從問題的代數(shù)特征出發(fā)，以關(guān)注整體、追求簡易為目標作了探究，發(fā)現(xiàn)了一種較為簡潔的證明方法.

證法2不妨設(shè)a1

3 探究

經(jīng)過思考，得到如下結(jié)論：

結(jié)論1下界n是最優(yōu)的.

結(jié)論2Tn不存在有限的上界.

證明1)由證法2可知，當a1

既然不存在有限的上界，那么能否找到一個可變的上界呢？也就是說能否找到一個關(guān)于n的表達式來做Tn的上界呢？經(jīng)過探究得到結(jié)論：

證明考慮調(diào)整法[2].不妨設(shè)a1q,t=1,2,…,n-1)時，Tn取值為S，當ap=xt+1,bq=xt(其中p

(3)

考慮到a1

將上面4個式子代入式(3)可知

S*-S=4(p-q)(xt+1-xt)>0.

因此，若存在相鄰的兩項bp,aq滿足p>q,ap>bq，則將ap,bq交換位置，可使得Tn增大.如此不斷調(diào)整，直至對于任意的p>q，均有ap

a1

又因為ai≥b+i-1，bi≤a-n+i,所以

4 推廣

對于原不等式，筆者還考慮了如下的結(jié)論：

證明不妨設(shè)對于任意i∈(1,2,…,n)，均有ai,1

下面考慮上式右邊的最小值：

對于任意s∈{1,2,…,n}，將a1,s,a2,s,…,ak,s由小到大排序為b1,s

當bi,s=b1,s+i-1(其中i=1,2,…,k,s=1,2,…,n)時，取到等號.

5 感想

作為教師，在平時解題的過程中，當有探究、擴展意識，而對問題的探究和擴展應(yīng)建立在對題目有著精確剖析的基礎(chǔ)上.在剖析題目時，確立合適的目標是最為重要的因素之一.確定了恰當?shù)哪繕耍粌H可以使得解題的過程更加自然，而且還能夠?qū)栴}從多角度展開探索，通過比較和鑒別，選出理想的方法，是實現(xiàn)簡單自然解題的關(guān)鍵，也是探究數(shù)學奧秘的重要素質(zhì).