品讀平面向量考題 構建復習教學框架*

●

(溫州第二高級中學，浙江 溫州 325000)

平面向量是高考的重要考點之一，是架起平面幾何圖形與坐標系下代數運算的知識樞紐．綜觀2018年全國各地數學高考卷的平面向量試題，有對向量基本運算的考查，也有創新背景探尋數形轉化的思想，凸顯向量的學習與應用意義．

1 基于雙基考查的考題品讀

平面向量的線性運算、基本定理及坐標表示是向量的基礎知識，也是高考重點考查的內容．在應用的過程中，平面向量融數、形于一體，具有代數形式與幾何形式的雙重身份，構成了向量解題中的兩種基本方法．

例1設a,b均為單位向量，則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的

( )

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

(2018年北京市數學高考理科試題第6題)

分析本題考查向量模的計算與垂直關系的判斷，將|a-3b|=|3a+b|兩邊平方，得

a2+9b2-6a·b=b2+9a2+6a·b，

則

a·b=0，

即

a⊥b.

故選C．

也可以設a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，通過坐標運算得到

cos(α-β)=0，

推得a⊥b．

( )

(2018年全國數學高考卷Ⅰ理科試題第6題)

分析本題考查平面向量的線性運算與基本定理,即

線性運算轉換的方法有很多，可以利用中線關系

圖1

線性運算是以基底向量為目標的分解與合成運算，借助平行四邊形法則與三角形法則完成，可添加輔助線.如圖1，先取

AB的中點F，聯結DF，再取AF的中點H，聯結HE,可得

2 基于幾何背景的考題品讀

向量表示與運算中涵蓋著有關長度、角度和垂直關系的問題，在解題中探尋出這些幾何要素，借助圖形的關系，可以大大簡化運算的難度．

( )

(2018年浙江省數學高考試題第9題)

分析本題的難點是b2-4e·b+3=0，化簡得

(b-e)·(b-3e)=0，

圖2

對向量關系(c-a)·(c-b)=0，可推廣為

(c-a)·(c-b)=λ(其中λ≠0)，

通過極化恒等式的可化簡為

(c-a)·(c-b)=

則

( )

(2018年天津市數學高考理科試題第8題)

圖3 圖4

如圖3，取AB的中點F，得

3 基于構造向量的考題品讀

以平面向量為載體，結合其他知識的考查是高考命題的一個亮點，常常與解三角形、解析幾何、三角函數等內容交叉滲透，既能對圖形的性質與特征賦予代數的運算，又能將抽象的代數巧妙地轉化為幾何關系，使得解題處處妙筆生花．

例5在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a，b，c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為______.

(2018年江蘇省數學高考試題第13題)

分析因為點A,C,D共線，結合角平分線定理，得

兩邊平方得

化簡得

a+c=ac,

即

運用柯西不等式，得

(2018年上海市數學高考試題第12題)

圖5

得△ABO是正三角形．設C(1,0)，且AB的中點為D，取直線l:x+y-1=0的垂直向量為m=(1,1)，從而

4 構建平面向量的復習教學框架

“高考考什么與怎么考”如同一面鏡子，照出“教師教什么以及怎么教”．解讀高考試題的特征與思路，反思教學行為，回歸課堂，尤其是高三的復習課，從數形思想、幾何背景與運算工具這3個角度去主動構建起復習教學的框架，更好地對經典數學問題進行回溯，讓復習教學更加有效．

4.1 明確平面向量代數與幾何雙角色，凸顯雙線

在平面向量的知識點復習過程中，例題的示范應凸顯雙線，雙管其下，讓學生感受到手中有兩招，可選擇可優化，形成幾何與代數這兩個解題流程．明確雙線的定位，教師在教學中能更好地有的放矢．例如，在三角形的四心向量形式的問題上，學生受困于向量形式的多變，無法下手，其原因多在于教師過于注重幾何形式的推導，若能增加代數方法，將三角形特殊為直角三角形，建系算出四心坐標，就能輕松解決．雙線框架的建立讓學生從想不到的困境中走出來，變成此路不通另謀出路，指明了方向．

4.2 積累平面向量幾何背景的轉換形式，畫龍點睛

平面向量解題的難點之一是對向量形式所涵蓋的幾何背景的轉換.在復習過程中，可通過典型例題的學習提煉模型，不斷積累，形成以共線、圓、垂直、極化恒等式、三角絕對值不等關系等幾何背景框架．學生面對高考題，能快速有效地反饋信息，鎖定模型特征，聯想過往相似類型對應的解題思想與方法[1]．

沿著這一思路，學生能輕松識別圓的向量形式，即|a-b|=1是距離為定長引發的圓；(a-c)(a-b)=0由圓周角為90°聯想到圓；|a|=2|a-b|是阿波羅尼斯圓．其他幾何背景也是如此，歸納解題模型是成功解答高考試題的有效方法之一．

4.3 注重平面向量運算工具的靈活使用，縱橫交匯

平面向量是一個運算的工具，具備形與數轉化的便利，學習過程中應該不斷地嘗試并發散聯想：一方面在有顯著幾何特征的圖形中尋找向量關系，比如在△ABC中，在邊BC的中線AD背景下，就容易聯想到

平方再相加得到

得到關于中線的一個等量關系，由極化恒等式得到

另一方面在代數運算的情景下構造向量關系，比如對2018年浙江省數學高考試題第11題中出現的方程組

當z=81時，得

從而求解過程就可以理解為

(19,73)=x·(1,5)+y·(1,3)，

這是一個向量的線性運算．