強化應用意識 提升數學素養*
——對全國卷概率與統計應用題的分析與思考

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(靈璧第一中學,安徽 靈璧 234200)

1 問題提出

2018年高考是《普通高中課程標準》修訂后的首次高考，承前啟后.它是課程改革深化的體現，是高考發展的風向標.關注變化，研究動態，正視問題，尋求對策將有利于教學的促進與發展.

數學源于生活，應用于生活.學習數學的一個主要目的就是利用數學解決實際問題.高考中常將與大眾生活息息相關的問題適度抽象、改造，以概率與統計等形式出現，試題平和，背景公平，在學生心情相對輕松的狀態下實現對學生數學素養的考查.由于全國卷Ⅰ、全國卷Ⅱ、全國卷Ⅲ均由國家教育部考試中心命題，使用范圍廣，影響力大，備受關注.筆者以全國卷概率與統計應用題為載體進行簡析，并給出教學思考.

2 案例剖析

例1某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人：第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間(單位：分鐘)繪制了如圖1所示的莖葉圖：

圖1

1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由.

2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表(表1)：

表1 不同生產方式所需時間和工人數統計表

3)根據第2)小題中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？

表2 K2分布表

(2018年全國數學高考卷Ⅲ文、理科試題第18題)

分析本題以技術創新在生產實際中的應用問題為背景，親切自然.數據信息多樣化，圖表語言是數學語言的一種形式，它具有直觀、簡潔、信息量大等特點．概率與統計試題常以圖表的形式給出各類數據，既將條件言簡意賅地呈現，同時也考查了考生讀圖表、識圖表和用圖表的能力.本題以莖葉圖(高中新學的圖表)為載體，考查了樣本數據的數字特征(中位數)以及獨立性檢驗的相關知識，考查考生數據分析整理、運算求解等能力.

解1)第二種生產方式的效率更高.理由如下：

①由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘；用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多78分鐘.

②由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5.

③由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.

④由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布.

又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少.

(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.)

2),3)略.

點評如何理解第1)小題中“生產方式的效率更高”,仁者見仁,智者見智.命題組從宏觀與微觀等不同角度提供的參考答案有4種，并強調“考生答出其中任意一種或其他合理理由即可得分”，增加了對數據解釋的開放性，要求學生運用統計方法分析并獲得結論，促使學生從標準答案中解放出來.設計的目的是通過增強試題的開放性和探究性，鼓勵學生靈活運用所學知識進行思考，多角度認識和分析問題，創造性地解決問題.學生能自圓其說需要具備較強的數據發現與整合能力和理性精神.第2)小題關鍵在于中位數的識別和表2中兩個變量的理解.第3)小題關鍵在于獨立性檢驗原理的理解和參照值的識別與應用.本題計算量較往年有所減少(與整張試卷計算量分布有關)，難度有所下降，注重統計的方法在實際問題中的應用，體現了數學抽象、邏輯推理、數學運算和數據分析等數學核心素養.預計學生在第1)小題中會通過精確計算兩種生產方式的期望(或方差)尋求結論.通過觀察可估算出兩組數據的數學期望，而精算必定耗時費力，這與教材、教學的范式(兩組數據先比較其數學期望，期望相同時再比較其方差)所決定的；通過期望下結論因為忽視了數據的意義(完成生產任務的工作時間越短其效率越高)而出現錯誤；盡管第3)小題計算量不大，但學生仍會出現計算錯誤，主要原因為學生缺乏簡化意識(先化簡再計算)和運算能力薄弱.

例2某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售．如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．

1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數解析式.

2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得表3：

表3 玫瑰花的日需求量和頻數

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率．

①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數學期望及方差；

②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由．

(2012年全國數學高考卷Ⅰ理科試題第18題)

分析本題以經營玫瑰花店的收益為生活背景，巧妙地將實際生活、函數、概率等知識交會在一起，由于背景為學生所熟悉，不會對學生理解題意造成困難.主要考查分段函數、用頻率估計概率、離散型隨機變量的分布列、期望、方差等，以及在購進不同數量時所獲利潤的比較.第1)小題考查“數學”(統計不是數學，它是一門處理數據的藝術，出于不同的需求，可以對同一批數據作不同的處理)，好花美麗不常在，出售(垃圾處理)每枝玫瑰花的利潤為5(-5)元，不涉及倉儲管理等其他費用，但要弄清“需求量”與“銷售量”的區別，才能將其正確地整合成分段函數形式；第2)小題的第①題考查統計，將隨機事件數量化為隨機變量，利用隨機事件的對應關系得到隨機變量的分布列；第2)小題的第②題仿照第①題如是處理，根據所得結果給出論斷.

1)略.

2)解①X的分布列如表4所示：

表4 X的分布列

X的數學期望為

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76；

X的方差為

DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44.

②答案1：花店一天應購進16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天購進17枝,Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列如表5所示：

表5 Y的分布列

Y的數學期望為

EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4;

Y的方差為

DY= (55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+

(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.

由以上的計算結果可以看出，DX

答案2：花店一天應購進17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天購進17枝,Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y(的分布列同答案1)的數學期望為

EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

由以上的計算結果可以看出，EX

點評對于第1)小題，極少數學生對函數概念理解不到位，錯誤地認為y=5n.根據規則“當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理”,每個自變量必須在函數值域中找到其歸宿(對應的函數值)，概念理解不透徹，則會用局部狀態替代全局的所有情形.實際問題數學化能力與知識遷移能力不強表明學生的數學抽象素養和邏輯推理素養不高.第2)小題第②題兩組數據呈現后如何論斷呢？“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，要求學生從不同的角度、用自己所學的知識給出結論，貴在自圓其說.命題組給出了開放式的答案(結論相反)，是數學真實反映現實的寫照，體現出了一定的人文價值.遺憾的是，學生千篇一律地選擇答案2，整齊劃一，更多的是機械訓練的結果，導致學生處理問題不能發散思維，缺乏主見，只會按部就班地機械式操作，這與素質教育的發展方向背道而馳.一些考生選擇“花店一天應購進16枝玫瑰”，理由是16枝玫瑰賣出的概率比17枝玫瑰賣出的概率大(需求量不變，進貨量少)；而另一些考生選擇“花店一天應購進17枝玫瑰”，理由是17枝玫瑰賣出的利潤比16枝玫瑰賣出的利潤大(賣出去的玫瑰花多，垃圾處理的玫瑰花少)，這部分學生的思維層次還停留在小學的加減運算階段[1]，何談獨特與創新的數學思維.

例3圖2是某地區2000—2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖．

圖2

1)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．

(2018年全國數學高考卷Ⅱ文、理科試題第18題)

分析本題以環境基礎設施投資為背景，采用真實數據，引導學生將所學數學知識與經濟社會發展相結合.以折線圖形式給出數據，考查了線性回歸模型，考查數據處理能力、運算求解能力、圖形的識別能力.第1)小題將2018年對應的數t=19和t=9分別代入模型①和模型②即可得到預測值；第2)小題線性回歸方程求解的原理是“最小二乘法”，通過理性思辨確定擬合效果，進而選擇相對恰當的數學模型.這里主要有兩種判斷模型的途徑：①利用數據的散點圖，觀測數據對應的點與回歸直線的位置關系；②利用殘差(的平方和)進行分析.

2)利用模型②得到的預測值更可靠．理由如下：

理由2從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．

(注：以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．)

點評“如何合理地建立數學模型以及如何利用選擇的數學模型解決實際問題”充分體現了數學在實際生活中的應用.本題意在引導學生關心日常生活、生產活動中蘊含的實際問題，體會課堂所學內容的應用價值，激發學習興趣，是高考注重理論聯系實際的重要方面.本題設計言簡意賅，亮點紛呈，沒有繁瑣的計算，直接給出線性回歸方程(有別于常見套路：先通過給定數據求出變量間的線性相關系數r判斷兩個變量(不)具有相關關系，然后求出線性回歸方程，最后對結果進行預報等)，然后對兩個指定的模型的效果進行區分.重在考查學生對數學建模過程的感悟與理解，引領學生跳出題海，學會理性思考.預計學生嘗試利用數據分別求出理想化的數學模型(標準的線性回歸方程)，將其與對應的模型①和模型②比較，可能因為運算量過大而放棄，無疾而終的原因可能是韌性不足，還可能是方法不當自找麻煩，本題顯然是后者.由于本題提供的數據區分度較高，可通過形的直觀(理由1)，也可通過典型的數(理由2)得到結論.

3 教學思考

3.1洞悉綱領文件，明確目標指向

《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱(理科)》簡要給出了考核目標與要求(知識要求、能力要求、個性品質要求、考查要求)和考試范圍與要求，它指出“能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識”，這里前3個“能力”與數學應用息息相關，后4個“能力”更與之密不可分.“考查要求”強調“對應用意識的考查主要采用解決應用問題的形式”“對創新意識的考查是對高層次思維的考查.要注重問題的多樣化，體現思維的發散性……”，以上例題將兩種考查要求巧妙融合.

《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明(理科)》從數學基礎知識、數學思想方法、數學能力等角度將考核目標與要求具體化并給出示例.如在“統計與概率的思想”中以本文例2為例進行說明；在“數據處理能力”中選擇2016年全國數學高考卷Ⅰ理科第19題(在n=19和n=20中決策)作為示范；在“應用意識”中選取2016年全國數學高考卷Ⅲ理科第18題(垃圾處理無害化的線性回歸模型擬合與預測)作為示例，這3道題分別從知識、思想方法、結構形式等角度反復呈現，不斷滲透.

《高考理科試題分析·語文、數學、英語(2018年)》從考查目的、命題過程、解題思路、答案、試題評價等方面全方位對試題進行解讀，講清試題背后的故事.

通過以上文件的學習，2018年的數學高考輪廓清晰可見，試題已初具雛形.因此，《普通高中數學課程標準(2017年)》等文件是教學與考試的綱領性文件，是教學的根基.只有充分理解以上文件的精神，才能把控教學方向，做到有的放矢.

3.2 落實教材意圖，明晰問題本質

作為教與學舵手的教師，在把準方向的同時還要謀求教學內容的落實.教材是教與學的載體，理應得到重視.研讀教材，開發教學資源，落實教材編者意圖，是教學低耗高效的唯一方式.教材限于篇幅，往往只呈現內容的基礎與主干部分，教師要完善教材，充分解讀教材，挖掘并豐富問題的內涵，在學生的最近發展區組織教學.如線性相關系數r的臨界值的決定因素有哪些(與樣本數據的組數有關)；“有99%的把握”為什么查表找P(K2≥k)=0.010(變量獨立性檢驗的原理確定，等價表述的具體方式不同).又如例1中中位數的識別，因為樣本提供的是離散型的原始數據，依照中位數的概念(將數字從大到小(或從小到大)排列，奇數個數的中間數或偶數個數的中間兩個數的平均數)即可確定.

而對于以頻率分布直觀圖形式呈現的圖表，無法得到原始數據，只能用累計頻率為0.5處的數字進行估計.如2017年全國數學高考卷Ⅱ理科第18題的第3)小題中“新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0.01)”的答案為

但不少學生的答案為

無視有限與無限、離散與連續的區別，導致張冠李戴，而這恰恰是古典概型和幾何概型本質上的區別.

教師是教學內容(知識、思想方法等)的加工者與傳遞者，而不是知識的搬運工.教學要腳踏實地，弄清主線，抓住主干，以點帶面，絕不能用統計出的數據或感性經驗來猜題、押題，否則只會搬石頭砸自己的腳.如某些教師歸納出全國卷Ⅰ概率與統計考查的熱點為線性回歸、正態分布、獨立性檢驗，進而反復演練，不斷強化，結果2018年全國數學高考卷Ⅰ理科第20題就考查了隨機變量的概率分布列等問題，看到意料之外，實乃情理之中.“題在書外，根在書中”，教材內容具有基礎性與拓展性，高考試題具有綜合性與選拔性，如何彌合教材與高考的差異，實現思維進階，研究高考試題是重要的方式.高考試題是數學知識融合的范式，通過對高考試題的研讀與解析，能更具體、更直觀地深化對知識本質的理解.值得注意的是，研究高考試題的目的不是尋求可供“對號入座”的題型，而是通過解題思想方法的領悟深化對知識的理解，提高思辨能力，形成數學素養，以不變應萬變.

3.3 重視數學閱讀，提高運算能力

高考中的應用性問題貼近生活，背景充分，為了不引起學生的誤解往往敘述翔實而導致題干較長，使得眾多的知識點、數量關系相對分散甚至隱蔽，給學生快速、準確、全面的理解題意設置了障礙，它需要學生具有一定的閱讀理解能力.準確閱讀是獲取有效信息的前提，提高學生的閱讀理解能力勢在必行.這里只強調教學過程中一定要指導學生如何閱讀，并給足學生閱讀的素材、時間與空間.

數學應用離不開運算求解等能力.目前師生大多通過超負荷的機械性訓練來提高計算的技能品質(準確性和熟練度)，導致大部分學生不喜歡運算，缺乏正確運算的信心，甚至懷有負面情感.如何提高學生的運算能力？準確理解和掌握基礎知識、公式和法則是前提，科學記憶是基礎，提高變形能力是保障，反思優化是關鍵，發展思維是核心[2].教學時要引導學生“多想少算”，先獨立思考算理、算法，然后尋求算法的多樣性，再反思、改進，最后在師生的交流中實現運算從機械操作走向理性分析并逐步實現優化.

3.4 關注生活素材，強化數學應用

陶行知先生曾說過：“教育可以是書本的，與生活隔絕的，其力量極小．拿全部生活去做教育對象，然后教育的力量才能偉大.”如何讓學生從書內走向書外，從課內走向課外，實現理論聯系實踐？教學要引領學生回歸生活，關注應用，強化發現，嘗試提出問題，設計并優化解決方案，提高數學建模能力，積累活動經驗，使理論與實踐齊頭并進、共同發展.