對一個二元最值問題的探究*

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(內江師范學院數學與信息科學學院,四川 內江 641100)

《現代漢語大詞典》對“探究”的解釋是探索研究，即努力找出答案、解決問題．數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論.《普通高中數學課程標準(2017年)》(下文簡稱《標準》)指出：數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數學課程的重要內容[1].可見，數學探究是重要的學習方式.從學習方式的實踐來看，數學探究活動一般要經歷4個階段：提出問題、分析問題、解決問題、推廣問題.本文以一個二元最值問題為例，展示數學探究活動的4個階段.

1 提出問題——探究的核心

《標準》指出：數學探究課題的選擇是完成探究學習的關鍵.課題的選擇要有助于學生對數學的理解，有助于學生體驗數學研究的過程，有助于學生形成發現、探究問題的意識，有助于鼓勵學生發揮自己的想像力和創造性[1].可見，好的數學問題是開展探究活動的核心.什么樣的數學問題算得上一個好的數學探究問題呢？根據探究的內涵——“努力找出答案、解決問題”來看，探究必然是一個深刻的思維過程.因此，我們認為探究的問題應具備三度：一定的難度、一定的深度和一定廣度.一定的難度是開展數學探究的必要，一定的深度是深入探究的前提，一定的廣度是高效探究的保障.

問題已知a2+ab+b2=3，求a2-ab+b2的最大值和最小值.

問題評價上述問題具有一定的難度、深度和廣度，亮點紛呈：形式優美、構思巧妙、敘述簡潔、通俗易懂、不偏不怪、解法多樣、內涵豐富、數學味濃、不設陷阱、可一般化.完全包含了數學家匈菲爾德在1994年提出一道好的數學題應具備5個要求：容易接受的、一題多解、蘊含了重要的數學思想、不故意設陷阱、可推廣和一般化.因此，本文呈現的問題有助于學生體驗數學研究的過程，有助于學生對數學的理解，是數學探究的好問題.

2 分析問題——探究的關鍵

分析問題指弄清問題已知條件(起點)、待求或待證目標(目標)、已知條件的等價條件、待求或待證目標的等價目標以及起點和目標之間的差異、實現目標的路徑.具體來講，探究者應清楚：已知條件是什么？已知數據有哪些？哪些條件處于支配地位、是解題的核心要素？哪些條件預示著解題的方向？由已知條件能推出哪些結論？已知條件的等價條件有哪些？待求或待證量是什么？待求或待證量的等價形式是什么？等等.分析問題是解決問題的前提，是數學探究的關鍵.波利亞指出：“對你所不理解的問題做出答復是愚蠢的.”[2]分析問題一般要經歷兩個過程：直觀感知和信息加工.直觀感知指對信息源提供信息的初步接受，即弄清字面意義；信息加工指對初步接受的信息進行識別、篩選、處理，包括弄懂數學含義、識別題目模式、揭示解題方向[3].

2.1 初步審題，直觀感知

已知條件a2+ab+b2=3.

待求目標求a2-ab+b2的最大值和最小值.

初次審題后的感受：問題簡單，但無從下手.

2.2 再次審題，信息處理

解題經驗提取根據待求目標的特點，可斷言：取最小值時a,b同號；取最大值時a,b異號(這正是目標取得最大、最小值對應的條件).

模式識別1配對偶式法.

記M=a2-ab+b2，則

(1)

(2)

(3)

嘗試1求a2-ab+b2的最值，可以轉化為求式(1)或式(2)或式(3)的最值.

初中視角將式(1)和式(2)孤立來看，最值不易求得.但將兩者視為整體可以發現a2+b2與ab有天然的聯系：

a2+b2+2ab=(a+b)2≥0?a2+b2≥-2ab;

a2+b2-2ab=(a-b)2≥0?a2+b2≥2ab.

由上述兩個不等式可以建立關于M的不等式，進而求得M的最值.

高中視角式(3)可視為求二元函數的值域問題.

二元函數的值域常轉化為一元函數的值域：

模式識別2線性規劃.

嘗試2a2+ab+b2=3看成“約束條件”，a2-ab+b2看成是“目標函數”，作出曲線，運用線性規劃知識處理，但較難.

嘗試3a2+ab+b2=3看成是二次曲線，a2-ab+b2看成是“目標函數”，可運用三角換元法將目標函數轉化為一元函數值域問題.但二元曲線非圓、橢圓、雙曲線等常見圖形，因此在三角換元時需要作一些處理：由a2+b2+ab=3，得

再運用三角換元即可.

3 解決問題——探究的重點

數學問題是數學研究的對象，而解決問題不僅是數學研究要達成的目標，同時也是數學活動的基本形式和主要內容.數學家哈爾莫斯指出：“數學家存在的主要理由是解問題，數學的真正組成部分是問題和解.”波利亞指出：“中學數學的首要任務就是加強解題訓練，掌握數學就意味著善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題.”在數學探究中，解決問題是分析問題環節的具體實施、是數學探究的最基本形式和主要內容.探究者應力求從不同視角解決問題，通過一個問題的探究實現一小類問題的解決，通過一小類問題的解決實現一大類問題的解決，最終通過有限道題的探究去領悟解決無限道題的數學機智.

3.1 思維層次1：初中辦法

解法1令M=a2+b2-ab，則

得M≤9，當且僅當a=-b時等號成立.故1≤M≤9.

解法2記M=a2+b2-ab,由3=a2+b2+ab,得

3-M=2ab，

從而

即

M≥1.

又由(a+b)2-3ab=M和(a+b)2-ab=3,得

2(a+b)2=9-M≥0，

從而M≤9,故1≤M≤9.

解法3令M=a2+b2-ab，由a2+b2+ab=3，得

a2+b2=3-ab.

因為-(a2+b2)≤2ab≤a2+b2，所以

ab-3≤2ab≤3-ab，

從而

-3≤ab≤1，

于是M=a2+b2-ab=3-ab-ab=3-2ab，

即

1≤M≤9.

3.2 思維層次2：高中辦法

解法4判別式法.

(M-3)t2+(M+3)t+M-3=0，

得

Δ=(M+3)2-4(M-3)2≥0,

于是

1≤M≤9.

解法5三角變換法.

由a2+b2+ab=3，得

于是

張奠宙先生指出：“在日常的中學數學教學中，能夠用高等數學的思想、觀點、方法去解釋和理解中學數學問題的例子很多．重要的是，作為一名數學教師應該具有這樣的思維意識.”我們不禁要問：能從高等數學的角度對解決方法進行解釋嗎？能用高等數學知識直接解決探究問題嗎？

3.3 思維層次3：大學辦法

模式識別3二次曲線的變換法.

a2+ab+b2=3看成二次曲線的最大的麻煩是含有ab.否則，a2+ab+b2=3即為圓的標準方程.怎樣將二次曲線中交叉項ab去掉呢？下面從高等數學視角給出分析：

圖1

解法6坐標變換法[4].

如圖1，得

a=cosθ·a′-sinθ·b′,

b=sinθ·a′+cosθ·b′，

代入a2+ab+b2=3中，可得

(1+cosθsinθ)a′2+(1-cosθsinθ)b′2+(cos2θ-sin2θ)a′b′=3.

(4)

令cos2θ-sin2θ=0，得

cosθ=sinθ,

即

a2+b2-ab=(1-cosθsinθ)a′2+

(1+cosθsinθ)b′2+(sin2θ-cos2θ)a′b′=

1+8sin2α,

從而

1≤1+8sin2α≤9，

得a2+b2-ab的最大值為9，最小值為1.

解法7正交變換法[5].

令z=a2+b2+ab-3，則

模式識別4拉格朗日乘數法[6].

在高等數學中，解答多元函數最值問題的最直接方法是拉格朗日乘數法.

解法8拉格朗日乘數法.

令M=a2+b2-ab，l(a,b,λ)=a2+b2-ab-λ(a2+b2+ab-3)，再令la=2a-b-λ(2a+b)=0，lb=2b-a-λ(2b+a)=0,lλ=-(a2+b2+ab-3)=0,則

得a=±b.當a=b時，a2=1，則Mmin=a2=1；當a=-b時，a2=3，則Mmax=3a2=9,故a2+b2-ab的最大值為9，最小值為1.

4 推廣問題——探究的難點

數學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立.此外，也指對條件、結論進行結構分析以后，進行適當變化，使得到的新命題為真[7]．張景中院士指出：“推廣是數學研究中極其重要的手段之一，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣.數學家總是在已有知識的基礎上，向未知的領域擴展，從實際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題.”[8]

從而M≥2n，當a1=a2=…=a2n+1時，等號成立.

于是

于是

從而

波利亞指出：一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當地選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.本文的數學探究正是通過對一個好的問題從不同層面反復、深入地剖析，實現學生能力提升、認知結構優化和解題經驗的積累.因此，數學探究無可厚非地成為了當前最為重要的學習方式.