探尋求解通法 呈現最優解法*
——一道不規則四邊形賽題的解法探究

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(沙坡頭區宣和鎮張洪學校，寧夏 中衛 755006)

1 試題呈現

( )

A.45° B.60° C.75° D.90°

(2017年全國初中數學邀請賽試題第4題)

圖1 圖2

2 解法探究

為方便求解，先求15°和75°角的三角函數值.

如圖2，在Rt△ACD中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=BD.令AC=m，則

受文獻[1]的啟發，從圖形特征出發，本題有以下兩種求解思路.

思路1構造相似三角形求解.

圖3

解法1如圖3，延長AB，交DC的延長線于點E，過點C作CF⊥AB，垂足為F.

由∠ABC=75°和∠BCD=120°,易知

∠E=∠BCF=15°，

求得

又因為∠AED=∠FEC=15°，所以

△CFE∽△DAE，

從而∠CDA=∠ECF=75°.故選C.

圖4

解法2如圖4，延長AB，交DC的延長線于點E，過點B作BF⊥DE，垂足為F.

由∠ABC=75°和

∠BCD=120°，易知

∠E=15°， ∠BCF=60°,

從而

又因為∠AED=∠FEB=15°，所以

△BEF∽△DEA，

從而∠CDA=∠EBF=75°.故選C.

點評以上兩種解法均是通過構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系求得相關線段的長，然后借助于相似三角形的判定和性質求得∠CDA的度數，不妨稱這種構造相似三角形的方法為“相似三角形構造法”.這兩種解法中，雖然構造的直角三角形不同，但直角三角形中均含有15°和75°角，因此求解相關線段長度的運算較為繁瑣，運算量較大.將不規則的四邊形轉化為三角形，是解決不規則四邊形問題的常用方法之一.通過計算可知，∠A=90°，因此本題采用“相似三角形構造法”可以成功解決.若在四邊形ABCD中，∠A≠90°，則解法1和解法2對本題而言無能為力.由此可以看出，“相似三角形構造法”不是解決這類問題的通性通法，不具有“普適性”.

思路2構造直角三角形求解.

解法3如圖5，聯結AC，過點C作CE⊥AB，垂足為E，過點A作AF⊥CD，垂足為F.易知

從而

得

∠ACE=30°，

故

∠ACD=75°.

可知

于是

即

得∠CDA=75°.故選C.

點評解法3將四邊形ABCD分割為4個直角三角形，然后利用直角三角形的邊角關系求解.這種解法容易想到，但涉及到15°和75°角的三角函數，運算較為繁瑣.

圖5 圖6

即

從而

AB=AE，

于是

∠AEB=∠ABE=45°.

在△CDE中,CD=CE=1，∠DCE=120°-90°=30°，得

∠CED=∠CDE=75°,

從而

∠CED+∠CEB+∠BEA=180°，

即點E在AD上，于是∠CDA=75°.故選C.

點評解法4通過構造Rt△BCE，將不規則四邊形問題轉化為兩個新問題:一是判斷△ABE的形狀，這需要利用余弦定理求AE的長；二是判斷點E的位置，這需要利用相關角之間的關系說明點A,E,D共線.對學生而言，解決這兩個問題有一定的挑戰性，況且構造這種非常特殊的直角三角形的方法不易想到，具有一定的難度.

受波利亞“怎樣解題表”[2]及文獻[3]的影響，筆者聯想到這樣一類幾何計算問題：在網格圖中求不規則格點多邊形的面積.解決這類問題的常用方法有兩種：一是將格點多邊形置于某個矩形內，然后借助于直角三角形和矩形的面積求得不規則多邊形的面積；二是將不規則四邊形沿網格線分割成直角三角形和矩形，然后借助于直角三角形和矩形的面積求得不規則多邊形的面積.受這種轉化思想的啟發，筆者嘗試通過構造矩形或分割四邊形解決本題.

思路3構造矩形求解.

從而

于是

∠ADF=75°,

即

∠CDA=180°-∠ADF-∠CDE=75°.

故選C.

圖7 圖8

從而

于是

∠ADF=15°,

即

∠CDA=90°-∠ADF=75°.

故選C.

說明：四邊形EDFG是正方形.

解法7如圖9，過點C在四邊形ABCD外作直線EH，使∠DCE=45°，過點B,D分別作直線EH的垂線，垂足分別為H,E，過點A作直線EH的平行線，交DE于點F，交BH于點G，則四邊形EFGH是矩形，易知∠BCH=15°，∠CBH=75°，∠ABG=30°，∠BAG=60°，∠CDE=45°.又

由矩形的性質易知

從而

于是

∠ADF=60°,

即

∠CDA=180°-60°-45°=75°.

故選C.

圖9 圖10

解法8如圖10，過點C在四邊形ABCD外作直線EH，使∠BCH=45°，過點B,D分別作直線EH的垂線，垂足分別為H,E，過點A作直線EH的平行線，交DE于點F，交BH于點G，則四邊形EFGH是矩形，易知∠DCE=15°，∠CDE=75°，∠CBH=45°，∠ABG=60°，∠BAG=30°.又

由矩形的性質易知

從而

于是

∠ADF=30°,

即

∠CDA=180°-30°-75°=75°.

故選C.

圖11

從而

tan ∠ADF=1，

于是

∠ADF=45°,

即

∠CDA=180°-45°-60°=75°.

故選C.

點評解法5～9均是通過構造矩形解決問題.這些解法的基本特點是將不規則的四邊形ABCD置于某個矩形之內，然后利用矩形及直角三角形的性質求解，不妨稱這種方法為“矩形構造法”.從求解過程可以看出，這些解法中構造出了含有15°,30°,45°,60°,75°等特殊角的直角三角形，然后利用三角函數求得相關線段的長，這是學生非常熟悉的解決問題的基本方法.若涉及到15°和75°角的三角函數值，運算過程較為繁瑣，對學生而言有一定的難度；若只涉及30°,45°,60°等特殊角的三角函數值，則運算量較小.對于解法9而言，求解過程中只涉及30°,45°,60°等特殊角的三角函數值，求解過程簡潔明了，是“矩形構造法”中最為精妙的解法.因此，“矩形構造法”是解決不規則四邊形問題的一種通法，具有“普適性”.

思路4分割不規則四邊形為直角三角形和矩形.

圖12

從而

于是

得

∠ADF=15°, ∠CDA=15°+60°=75°.

故選C.

從而

于是

即

∠CDA=75°.

故選C.

圖13 圖14

解法12(最優解法2)如圖14，作∠C的平分線CF，分別過點B,D作CF的垂線，垂足分別為F,E，過點A作BF的垂線，垂足為G，AG交DE于點H，則四邊形EFGH是矩形.易知∠DCE=60°，∠CDE=30°，∠BCF=60°，∠CBF=30°，∠ABG=45°，∠BAG=45°.又

得

從而

于是

tan ∠ADH=1，

即

∠ADH=45°, ∠CDA=45°+30°=75°.

故選C.

點評解法10～12均是將不規則四邊形ABCD分割為直角三角形和矩形，借助于直角三角形和矩形的性質解決問題.從求解過程可以看出，這些解法均是從∠BCD入手，將其分為兩個特殊角，然后構造直角三角形.以上解法中構造出了含有15°,30°,45°,60°,75°等特殊角的直角三角形，然后利用三角函數求得了相關線段的長.對于解法12而言，求解過程中只涉及30°,45°,60°等特殊角的三角函數值，求解過程簡潔明了，是這類求解方法中最為精妙的解法.由此可以看出，將不規則四邊形分割為直角三角形和矩形也是解決不規則四邊形問題的一種通法，具有“普適性”.

3 類題鏈接

圖15

( )

(2013年全國初中數學聯賽初三試題第4題)

請有興趣的讀者自行解答，此處從略.

4 結束語

數學學習離不開解題，解題是數學教學中極具創造性的工作.數學解題是一個培養數學思維能力的過程，是一種嘗試、探索、聯想、發現的過程.在解決某些幾何問題的過程中，最先想到的解法可能是滿足題目本身特征的特殊解法，不具有“普適性”，不是解決這類問題的通性通法.若聯想到數學學習中較為相似的幾何問題，則可能會找到通性通法的突破點.回望本題的求解歷程，筆者利用幾何畫板作圖時，就已發現了∠CDA=75°，∠A=90°，但要嚴格證明，并非易事.筆者想到了構造直角三角形，然后說明構造的直角三角形與所在的三角形相似，從而說明∠A=90°，∠CDA=75°，這種特殊的解法對于其他同類問題無能為力.在多次嘗試后，仍然不得其法.于是筆者聯想到了網格中求解不規則四邊形的面積問題，點燃了思維的火花，得到了求解本題的通性通法，并在諸多通法中呈現了兩種最優解法.

因此，在數學學習中，要關注求解同一類問題的通性通法，形成解決同一類問題的基本套路，這對提高學生數學解題能力有一定的促進作用.