基于學生認知規律的思維能力培養

錢怡

摘 要：小學數學需要關注學生的思維能力培養，思維能力的培養需要尊重學生的認知規律。“分數”作為小學數學的重要內容，具有基于認知規律研究學生思維能力培養的價值。在比較的過程中，在數學建模與數形的結合中，都可以找到思維能力培養的空間。

關鍵詞：小學數學；思維能力；分數

六年級學生將要進入總復習階段，蘇教版小學數學教材在編排上根據各年齡段學生的心理特征和認知特征，在各個學年段分別對于數與代數、空間與圖形、統計與概率和實踐與綜合應用等方面進行了循序漸進的編排，但是學生感覺數學知識是零散的。如何讓孩子有效掌握知識體系，把12本數學書讀薄，形成自我的知識體系，達到知識的“內化”，是筆者與課題研究組的成員關注的重點。

《新課程標準》提出：數學課程要培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力。課程基本理念還強調：數學課堂教學活動應該激發學生的學習興趣，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維，要注意培養學生的良好數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。此文僅以分數、百分數這一教學內容為例，談談筆者對知識的整理與重組的一些思索，以方便他們對知識記憶、提取及思考。

一、基于比較思維的能力培養

（1）分數概念的建立中的比較思維

分數一般分為兩類，一類是表示具體數量的，如“1/3千克、2/5升”；還有一類是分率，表示兩個數量之間的倍數關系，如男生人數是女生的3/4。剛開始接觸時，學生很容易混淆，建議學生觀察它們的特征。最明顯的特征：表示數量的分數后面可以加上單位名稱，而表示分率的分數后面不可以添加單位名稱。

表示數量的分數，和以往所學習的整數、小數一樣，可以表示事物的長度、面積、運行的速度等，而分數區別于小數和整數的是，它以分率的形式存在，可以表示兩個數量之間的倍數關系。要讓六年級的學生領悟到這跟低年級學習的“倍”有著類似的意義。

比較是一切理解和思維的基礎，在與低年段“倍”的知識比較中，學生領悟到兩個數量之間的關系可以分為差的關系和倍的關系。以一個數為參照，另一個數比這個數大，就是這個數的幾倍，如果比這個數小，就是這個數的幾分之幾，而這個作為參照的數就是單位“1”的量，“幾分之幾”這個分數就表示了這兩個數之間倍數關系的分率，另一個數就是比較量或分率的對應量。因為分數作為一個數量，在解決問題時與整數、小數類似，所以本文著重研究分數作為分率的問題。在比較中，學生了解了知識的形成過程，把握了知識的本質及內在規律。

（2）分數、除法和比的聯系

分數、百分數、除法和比之間有著密切的聯系，學生只有經過系統地整理復習，學會知識的系統化、條理化，使其成為一個有機的整體，才能在解題時融會貫通、運用自如。分數的分子就相當于除法的被除數、比的前項；分數的分數線相當于除法的除號、比的比號；分數的分母相當于除法的除數、比的后項。分數的基本性質、比的基本性質以及商不變的規律都有著內在的聯系。通過橫向比較，更能理解它們之間的聯系和區別，形成自己的知識體系，在比較中嘗試抽象概括，實現感知的升華，發展學生的思維能力。

（3）“倍”、按比例分配與分數、百分數應用題

對于畢業班的學生來說，“倍”與分數、百分數應用題以及按比例分配應用題等解決問題，不僅僅是求出問題的結果，最有價值的學習是找出各種解題方法之間的關系。

這類應用題中都會有一個介紹兩個數量之間倍數關系的句子，我們稱之為關鍵句，每次解題之前都要求學生先通過分析關鍵句來了解數量之間的關系。首先要找到單位“1”的量，有的可以在關鍵句中直接找到單位“1”的量，如“女生占全班人數的5/9”，其中全班人數就是單位“1”的量。在教學中，筆者讓學生在“全班人數”下面畫兩條橫線，“女生”下面畫三角形符號。分清數量關系后，依據單位“1”的量×分率=分率的對應量（單位“1”的量×倍數=比較量）來解決問題，問題即可迎刃而解。若單位“1”是已知的，我們可以直接用這個數量關系式求得對應量；若單位“1”是未知的，我們則可以用方程來解決，當然也可以用分率的對應量除以對應的分率，得到單位“1”的量。

如果關鍵句出現在問題中，即此題就是要求兩個數量之間的倍數關系是什么，我們一般用“分率的對應量÷單位1的量=分率”。為了便于孩子記憶，上課時我們經常說成A占B的幾分之幾（或百分之幾），用A除以B（如果分率的對應量與單位“1”是部分與整體的關系，我們就說A占B的幾分之幾，或者A是B的幾分之幾；如果A與B是兩個數量，那么我們就說A相當于B的幾分之幾或百分之幾，如男生相當于女生的五分之四，男生占全班的九分之四）。

我們還把重點放在關鍵句上，仍以“男生人數相當于女生的4/5”為例，依據上面所述的方法，我們可以找到其中女生人數為單位“1”的量，而男生人數就為分率4/5的對應量。4/5是指把單位“1”的量平均分成5份，表示這樣的4份的量，我們來理解一下，這就相當于把單位“1”的量平均分成了5份，而對應量就有這樣的4份，由此還能推出男生人數：女生人數=4∶5。有些學生慢慢發現，在一個分率中，分數線表示平均分，分率中的分母就表示單位“1”的量平均分的份數，而分子表示分率的對應量平均分的份數。知道了這點后，學生就可以從一個分率或百分率看出兩個數量之間比的關系，從而轉化成“倍”與按比例分配的問題來解決。課堂上，當筆者引導學生自己觀察、發現、比較，進一步抽象、概括出分數、百分數應用題中數量之間的這層關系后，學生的眼睛都亮了，迫不及待想要獲取新知，說出自己的解題思路。這種情感體驗是孩子們愛上數學的原動力，能促使他們積極主動地選擇自己喜歡的方法來解決問題。

愛因斯坦曾經說過：“教育應該使提供的東西，讓學生作為一種寶貴的禮物來享受，而不是作為一種艱苦的任務要他負擔。”對于高年級的學生來說，創設情境固然能激起他們的學習興趣，但由自己的探索獲得的發現更能激起他們對于學習的積極體驗，這種體驗更是學生知識“內化”的過程，能促進學生抽象思維的發展。很多現象顯示，數學思想方法清晰度高的學生，解題思路清晰，并且準確率也高，反之則會大大降低學習效率。

二、基于數學建模的能力培養

正如上文提到的，在分數、百分數應用題中，我們在解決問題之前一定要理解數量之間的關系，根據單位“1”的量×分率=分率的對應量，能很快列出數量關系式，同時知道以此引申出的兩個變式，這就是一種數學建模。我們在小學階段還會遇到很多行程問題、工程問題，作為高年級的學生，我們在學習中逐漸形成了“單價×數量=總價”“工作效率×工作時間=工作總量”“速度和×時間=路程”這樣的建模，并了解了它們在一定條件下有著正、反比例關系，這就是我們在小學數學學習中的重點之一。

蘇教版數學教材在每學年教學內容的編排上都安排了《解決問題的策略》這一重要內容，其中轉化是一個重要思想，也是解決問題的重要策略，可以溝通知識間的聯系，使解法更加靈活多變。

例如：上面所提到的“男生相當于女生人數的4/5”這個關鍵句，當我們分析清楚其中單位“1”的量及對應量，把它轉化成男生人數∶女生人數=4∶5后，下面的問題就變得簡單許多。

（1）女生人數是男生人數的幾分之幾？

（2）女生人數是總人數的幾分之幾？

（3）男生人數是總人數的幾分之幾？

（4）女生比男生多幾分之幾？

（5）男生比女生少幾分之幾？

無論問題如何變化，都可以轉化成“求一個數是另一個數的幾分之幾”，如果再加上一個已知條件，無論是知道男生人數、女生人數，還是知道男生、女生人數的和或者差，都可以很容易地求出其他的數量。

在解決較為復雜的分數、百分數應用題時，運用轉化的思想更能把復雜的問題簡單化。通過轉化，溝通知識間的內在聯系，得到更加靈活多變的解法。

例如，蘇教版數學教材第11冊上有這樣一道思考題：

“某興趣小組原來的女生人數是總人數的1/3，后又轉來6名女生，現在女生人數是總人數的4/9，現在有女生多少人？”

出示題目后，有部分孩子舉手了，列出了算式“6÷（4/9-1/3）”，這樣的解法固然是錯誤的，但錯在哪里呢？4/9和1/3這兩個分率是不可以相加減的，在出現這個錯誤時，教師沒有立刻指出，而是就錯誤引申了分率作為一類數的特性。首先，分率只可以跟分率相加減，如“一棵高80厘米的小樹長高20%后，高多少厘米”中，我們不可以直接用“80+20%”，也就是說，分率只可以跟分率相加減。其次，分率之間如果要比較大小，得在單位“1”統一或相同的情況下比較。例如這樣一道判斷題：“小明完成了家庭作業的1/2，小亮完成了家庭作業的50%，他們完成的作業一樣多。”題目設置了“陷阱”，沒有說明小明和小亮是否是同一個班級的，即作業的總量是否相等，那就導致單位“1”不一定相等，也就無法通過兩個分率來比較作業完成量的多少。再次，既然單位“1”統一的情況下才可以通過分率比較兩個數量的大小，同理，單位“1”統一的情況下，兩個分率才可以相加減。所以，這道題中的分率“1/3和4/9”的單位“1”雖然都是總人數，但兩次的總人數是不相等的，也就是單位“1”不統一，所以我們不可以像這樣列式。

既然如此，我們就不能把總人數看作“參照物”，也就是單位“1”，那么該把什么看成單位“1”呢？此時我們就可以運用轉化的數學思想，抓住其中一個不變的量——男生人數，作為單位“1”，把所知道的兩個條件轉化成“女生人數相當于男生人數的1/2，又轉來6個女生后，女生人數相當于男生人數的4/5”，這樣就找到了所知數量“6個女生”相對于“男生人數”的分率是“4/5-1/3”的差，那么題目也就迎刃而解了。

同理，這道題還可以轉化成“比”來解決問題。當然，還是要抓住這其中不變的量——男生人數，通過轉化，我們不難發現，原先“男生人數∶女生人數=2∶1”，后又轉來6個女生，這時“男生人數∶女生人數=5∶4”，根據比的基本性質，我們把不變的量，即男生人數這個數量在兩個比中的數化成相同的數，則前一個比為“男生人數∶女生人數=10∶5”，女生增加后，“男生人數∶女生人數=10∶8”。很明顯，女生人數增加了3份，這三份對應的數量就是6個女生，最后的問題還可以結合按比例分配一步求出。

在解決問題的過程中，學生是否能主動積極地運用轉化的數學思想，不固守于題目的闡述，是解決類似問題的突破口。

三、基于數形結合的能力培養

蘇教版小學數學在教材編排中揭示有關分數、百分數這種比較抽象的概念時，都聯系了圖形，對應的圖形從一個整體圖形到幾個圖形為一個整體，從具體的物體圖到抽象的幾何圖，進而再抽象到線段圖，這種數形結合的方法循序漸進地培養了孩子的思維能力，貼合孩子的認知發展。所以，對于簡單的分數、百分數應用題，我們拼接數學建模，培養孩子快速解決問題的能力，而對于稍復雜的分數、百分數應用題，當孩子在思考中產生疑惑或者困難時，數形結合的方法讓我們更直觀地看出各個數量之間的關系。

例如：一本書，小軍第一天看了1/5，第二天看了余下的1/4，哪一天看得多？

首先要比多少，我們只知道兩天各自看的相對的分率，并不知道具體的數量，依據前面我們提到的，單位“1”不統一的分率是不能直接比較大小的，很多孩子都束手無策。如何解決問題呢？根據前面所提到的，我們應該運用轉化的思想統一單位“1”，因為第一天看后余下了全書的4/5，所以余下的1/4，就是全書4/5的1/4，也就是全書的1/5，因此可以看出，這個量和第一天所看的量是相等的。但這樣的方法并不適用于所有學生，有部分學生對于余下的1/4為什么就是全書的1/5，仍然疑惑不解，這時如果我們引導孩子自己用數形結合的方法，就能借助直觀的圖形，慢慢形成自己的抽象思維。

通過循序漸進地學習以及各種形式的數學活動，學生將把小學階段12本數學書上的知識通過各種數學方法建構起知識間的聯系，發展數學思維，形成自己的知識體系，把12本數學書讀厚。