淺談遞推數列求通項的常用方法

李樹逵

如果已知數列{an}的首項（或前幾項，且任一項an與它的前一項an-1或前幾項）間的關系，可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數列的遞推公式，用遞推公式給出數列的方法叫做遞推法，遞推數列的重點，難點問題是求通項，求遞推數列通項的方法較多，也比較靈活，常用的基本方法有累加法、累乘法、轉化為等差等比數列，待定系數法等，主要的思路是通過轉化為等差數列或等比數列來解決問題。

一、形如an-1=an+f（n）可用累加法求通項。

例1：已知數列{an}滿足a1=1。an+1=an+2n。求通項an。

解：由遞推公式得：an-an-1=2（n-1），an-1-an-2=2（n-2）…………a3-a2=2×2。a2-a1=2×1

把上面（n-1）個等式相加。得an-a1=2[（n-1）+（n-2）+……+2n+1}=n（n-1）∵ an=n2-n+1

小結：一般地，若f（n）可解成常用的可求和的式子時運用此法

二、形如an+1=fnan即an+1an=fn其中fn不是常數，可用累乘法求通項。

例2. 已知數列{an}中，a1=1，an+1=nn+2an，求通項an。

解：由遞推公式得：ann-1n+1an-1，an-1=n-2nan-2 an-2=n-3n-1an-3……a4=35a3， a3=24a2，a2=13a1，

把上面這（n-1）個等式相乘得an=2×1（n+1）na1=2n+1n，當n=1時，a1=1，適合a1=1，

∵通項an=2（n+1）n

小結：一般地，數列{an}滿足an+1=f（n）an且f（n）是關于n的分式形式，可運用累乘法求通項。

三、形如an+1=pan+f（n）p為常數且p≠0.p≠1，可轉化為等比數列，

（1）f（n）=q（q為常數）用待定系數法化為an+1+k=p（an+k）。得{an+k}是以a1+k為首項，p為公比的等比數列。

例3、已知數列{an}中a1=1，an+1=3an+2。求通項an。

解：設an+1+k=3（an+k），k=2+k3得k=1，原遞推式可變為an+1+1=3an+1

∴{an+1}是一個以a1+1=2為首項，以3為公式的等比數列。

∴an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1

小結：一般地，對遞推關系式an+1=pan+q（p、q為常數且p≠0，P≠1）可等價地寫成{an+qp-1}成等比數列。

（2）f（n）為等比數列且p=q時。如f（n）=pn（P為常數）兩邊同除以pn+1得an+1pn+1=anpn+A的形式。

例4、已知在數列{an}中，an+1=2an+3·2n+1，且a1=2，則數列{an}的通項公式。

解：由an+1=2an+3·2n+1。除以2n+1得an+12n+1=an2n+3即an+12n+1-an2n+3。

即an+12n+1-an2n=3

∴數列{an2n}是一個以a12=1為首項，以公差為3的等差數列。

∴an2n=1+3n-1。即an=（3n-2）·2n

（3）f（n）為等比數列，且p≠q時，如f（n）=qn+1時。利用待定系數法，轉化為an+1+qn+1=p（an-qn）的形式。

例5、已知數列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6，求數列{an}的通項公式

解：由an+1=2an+3·5n兩邊加上5n+1得an+1+x5n+1=2（an+x5n）由待定系數x=3+5x2得：

x=-1，轉化為an+1-5n+1=2（an+5n）

即：an+1-5n+1an-5n=2

∴數列{an-5n}是一個以a1-5=1為首項。2為公比的等比數列。

∴an-5n=1·2n+1即an=5n+2n-1

小結：（2）（3）兩類型一定要看清an系數P與f（n）=qn+1中的常數p是否與q相等，兩種類型是截然不同的方法。

四、形如an+1=panqan+rp，q，r均不為零，利用倒數法轉化為等比數列求解

例6、在數列{an}中，a1=2，an+1=2anan+1，求通項an

解：由an+1=2anan+1，兩邊取倒數

得1an+1=12+12·1an即1an+1-1=121an-1

所以數列

1an-1是首項為1a1-1=-12，公比為12的等比數列，所以1an-1=12·12n-1故an=11-12n

五、形如an+1=ank（an﹥0，n∈N+，K為非零常數）用兩邊同時取常用對數，得lgan+1=klgan，構造等比數列{an}）求解

例7、在數列{an}中，a1=3且an+1=an2（n是正整數）求數列{an}的通項公式an

解：由題意知an>0，對等式an+1=an2兩邊取對數得

lgan+1=2lgan即lgan+1lgan=2

所以lgan=lga1·2n-1=lg32n-1即an=32n-1

六、形如an+2=pan+1+qan）p，q為常數，利用待定系數法轉化等比數列求解