用電梯的升降運動解釋立體幾何中的平行問題

李洪波

高中立體幾何的平行問題是一個重點內容，同時也是學生學習的一個難點問題.有些問題即使是教師講解多次，學生掌握得仍然不好.其中，有很大一部分原因是學生對圖形的感受性不足，不能與自己的生活常識聯系起來，也不能與自己已掌握的知識產生聯系.我們知道，對于看得見，摸得著，可以想象的東西，我們研究起來就會更容易一些，也更容易把它們從實際中抽象出來進行概念研究.本文結合生活中電梯的升降運動來幫助學生理解立體幾何中的平行問題.

我們知道，如果一條直線與平面平行，那么這條直線可以通過平移進入到這個平面內.這和我們在日常生活中電梯的運行方式非常相似，如圖1所示，電梯在運行過程中，可以看成是AB沿著l1，l2平行移動，最終AB就會平移到地面.

圖中有兩條導軌l1，l2，它們是平行的，A，B分別在其中的一條上運動，這樣平移前后很容易構造平行四邊形，這是我們常用的利用平行四邊形找平行線的辦法；如果l1，l2不平行，則可以利用梯形（上下底平行，中位線平行）或三角形（等比例平行，如中位線）來找平行線，如圖2所示.

在這里，最重要就是要找到兩條導軌，它們可以平行，也可以相交，但不能異面.

下面我們用電梯的升降運動來解釋一下具體操作過程：

我們證明線面平行問題時一般會用到下面兩個定理：

（1）通過證明線線平行來得到線面平行：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

（2）通過證明面面平行來得到線面平行：若兩個平面平行，那么一個平面內的任意一條直線都和另一個平面平行.

事實上無論是采用哪種證明途徑，不可繞過的一步就是一定要有線線平行，怎樣找這個平行線是實際解題中的一個難點.

下面以2016年全國文科數學3卷第19題為例詳細說明：

例如圖3所示，四棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BA=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.證明：MN∥平面PAB.

思路一通過證明線線平行來得到線面平行

分析1我們要將MN平移到平面PAB內，首先要找到兩條導軌，讓M，N兩點分別沿著導軌滑動.在已有的直線中，點M在直線AD上，而AD又是與平面PAB相交的，所以可以讓點M沿AD移動到平面PAB內，下面就要找點N的導軌了.這里引導學生想象一下，當MN移動時，點N會在平面PBC上留下“痕跡”，讓學生試著把這個“痕跡”畫一畫，注意到點N是中點，大多數學生都會認為這個“痕跡”就是△PBC的中位線TN，讓點N沿著TN移動就行了.在這里鼓勵學生大膽假設，小心求證，有助于鍛煉他們的空間想象能力.

證明1作PB中點T，連接TN，TA.

由于點N是PC中點，所以TN∥BC，且TN=12BC=2.

由于AM=2MD，所以AM=2.

又AD∥BC，所以四邊形MNTA是平行四邊形，

所以MN∥TA.

又MN平面PAB，TA平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

分析2另外，在已有的直線中，點N是在直線PC上，而PC也是與平面PAB相交的，可以讓點N沿PC移動到平面PAB內，下面就要找點M的導軌了.MN向“后”平移，尋找點M的“痕跡”對學生來說有些難度，這里可以建議學生反向思考，既然向“后”平移困難，不妨讓MN向“前”移動，讓M，N都移到點C處，這時，點M在平面ABCD上留下“痕跡”就是MC了，那么如果向“后”移動呢？自然就會在MC的延長線上，延長MC與BA延長線交于點T，連接PT，證明MN∥PT就行了.這里應用“正難則反”的數學思想，使得“柳暗花明又一村”，突破了難點.

證明2連接MC，并延長與BA延長線交于點T，連接PT（如圖4所示）.

在△TBC中，AM∥BC，且AM=12BC，所以AM是△TBC中位線，故點M是TC中點.

又點N是PC中點，所以MN是△CPT中位線，

故MN∥PT.

因為MN平面PAB，PT平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

以上兩種解法都是充分利用題目已有的條件，讓點沿著與平面相交的直線平移，最終把直線平移到平面內，平移后的直線就是我們要找的線線平行.證明1的兩條導軌是平行的，證明2的兩條導軌是相交的，這也是我們利用平行四邊形與三角形中位線來找平行的具體運用.

思路二通過證明面面平行來得到線面平行

分析1如果想要構造一個過MN平行于平面PAB的平面，一般情況下我們可以在現有的平面內先構造平行于平面PAB的一條直線，再來構造平面.這里我們還是要盯緊點M，N，先以點N為例，我們可以過點N作平行于PB的直線交BC于Q，再連接QM就會有新平面MNQ，下面只需要證明它與平面PAB平行即可.

證明3過點N作平行于PB的直線交BC于Q，連接QM，如圖5所示，在△CPB中，CN=NP，QN∥PB，則QN為△CPB中位線，所以BQ=QC=2.

又AM=2，且AM∥BQ，

所以四邊形AMQB為平行四邊形，所以QM∥AB.

又因為QN，QM平面QMN，且QN∩QM=Q，

所以平面QMN∥平面PAB.

又MN平面QMN，所以MN∥平面PAB.

分析2在這里我們是過點N作平行于PB的直線，有同學就提出疑問，還能作其他的平行線嗎？當然可以，可以過點N作平行于PA的直線（如圖6所示）.事實上，我們可以在PA，PB，AB三條直線中找一條相對容易作的即可.

分析3同樣的道理，我們來過點M作平行線，PA，PB，AB三條直線中，PA，AB的平行線容易作出.

（1）過點M作平行于AB的直線，交BC于Q，連接QM（如圖7所示）；

（2）過點M作平行于PA的直線，交PD于Q，連接QM（如圖8所示）.

作到這里，善于思考的同學已經發現圖7與圖5是一模一樣的，為什么會這樣呢？其實從圖5到圖8，這幾個新作出平面本來就是同一個平面，只是外觀有所不同.這是因為過平面外的一條與已知平面平行的直線，有且只有一個平面與已知平面平行.

在以上的各種證明過程中，問題的本質還是要找線線平行，思路1是把直線平移到平面內，思路2是把平面內的直線平移出來.把直線平移進去，除了一些較明顯的能利用平行四邊形與三角形中位線的情況外，其他的對學生的空間想象能力要求較高；把直線移出來相對簡單一些，一是因為現有的直線較多，選擇余地較大，另外是因為一般有現成的平面作為平移的載體.在實際教學中，我們要讓學生從多個方面考慮問題，多參照生活中的實例來提升自己的空間想象能力.