淺談對(duì)數(shù)學(xué)能力的認(rèn)識(shí)及其培養(yǎng)策略

李子維

【摘要】對(duì)于數(shù)學(xué)教育來說，最終要留在學(xué)生身上的就是數(shù)學(xué)能力.數(shù)學(xué)能力，一直是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的問題.如何鑒別學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平差異，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展包括哪些要素的增長(zhǎng)，如何開發(fā)學(xué)生的智力等問題，都要涉及對(duì)數(shù)學(xué)能力的理解和研究.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)能力；思維能力；培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)能力是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，直接影響活動(dòng)效率，使活動(dòng)得以順利完成的個(gè)體的穩(wěn)定心理特征.對(duì)數(shù)學(xué)能力的認(rèn)識(shí)，本文主要圍繞以下三個(gè)方面展開：數(shù)學(xué)能力的成分、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).

一、數(shù)學(xué)能力的成分

從蘇聯(lián)教育心理學(xué)家魯捷茨基等學(xué)者的分析研究來看，可以將中學(xué)數(shù)學(xué)能力分為以下11種成分.

注意能力.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，對(duì)數(shù)學(xué)材料、數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)問題及思維過程和情感體驗(yàn)的注意能力.

觀察能力.對(duì)用符號(hào)、字母、數(shù)字所表示的或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題、問題及對(duì)圖表、圖像或幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的觀察能力.

記憶能力.對(duì)符號(hào)、數(shù)字、數(shù)學(xué)關(guān)系式、邏輯模式或圖像、幾何圖形的記憶能力.例如，在講角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)時(shí)，要求學(xué)生把這兩個(gè)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言并把該圖像記住，才能很好地應(yīng)用.

聯(lián)想能力.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，從已知信息中產(chǎn)生和選擇達(dá)到目標(biāo)的信息的聯(lián)想能力.比如，學(xué)生在做證明題時(shí)，從已知條件進(jìn)一步聯(lián)想下一個(gè)和已知條件相關(guān)的條件，得出什么結(jié)論，再進(jìn)一步從推理中得出結(jié)果.

概括能力.抽象概括各種數(shù)學(xué)對(duì)象，對(duì)各種數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系及運(yùn)算方法的能力.

遷移能力.是指人們已經(jīng)獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法和態(tài)度，對(duì)學(xué)習(xí)新的知識(shí)、技能、方法和態(tài)度起促進(jìn)作用的能力.這往往體現(xiàn)在變式練習(xí)題中.

運(yùn)算能力.在運(yùn)算過程中，要求達(dá)到簡(jiǎn)捷、靈活、合理、正確的能力.

邏輯思維能力.對(duì)已有的數(shù)學(xué)信息運(yùn)用數(shù)學(xué)推理的思維方式進(jìn)行具體思維（動(dòng)作思維和形象思維）與抽象思維（形式思維和辯證思維）的能力.

空間想象能力.正確運(yùn)用空間圖形或圖像反映和掌握客體的空間特性和關(guān)系的能力.

直覺思維能力.是指人們運(yùn)用視覺形象和非視覺形象，經(jīng)過高度簡(jiǎn)縮的思維活動(dòng)，并能迅速、直接、綜合地做出判斷的思維能力.

創(chuàng)造思維能力.獨(dú)立、創(chuàng)造性地掌握知識(shí)，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，創(chuàng)造出對(duì)社會(huì)（或個(gè)人）有價(jià)值的新思維成果的思維能力.

在上述11種數(shù)學(xué)能力中，我認(rèn)為運(yùn)算能力、概括能力和邏輯思維能力是核心.

二、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，在數(shù)學(xué)運(yùn)算方面是從理解掌握各種運(yùn)算，到靈活應(yīng)用各種運(yùn)算，再抽象認(rèn)識(shí)運(yùn)算發(fā)展；在空間想象方面是從對(duì)基本幾何形的初步想象到對(duì)平面幾何形的深入想象，再到對(duì)立體幾何形的深入想象；在邏輯思維方面是以形象抽象思維到形式抽象思維，最后向辯證抽象邏輯思維發(fā)展.

中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展具有階段性.一般地，從初二開始，中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力以及邏輯思維能力的發(fā)展進(jìn)入快速階段.但每一方面，不同水平能力發(fā)展的快速階段有所不同.男女中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展存在著一定的差異，總的來說，男生略優(yōu)于女生，但差異不大；男生發(fā)展的快速期來得快、幅度大、結(jié)束早，而女生發(fā)展的快速期來得慢、幅度較小、結(jié)束晚.

數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，應(yīng)該是指?jìng)€(gè)體數(shù)學(xué)能力各個(gè)要素都得到協(xié)調(diào)發(fā)展，而不是指?jìng)€(gè)別數(shù)學(xué)能力成分的發(fā)展.同時(shí)，數(shù)學(xué)能力的發(fā)展不能脫離數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)能力的發(fā)展伴隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解而增長(zhǎng)，特別是一些主要概念、思想的學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)能力的形成和發(fā)展起著主導(dǎo)作用.

三、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)主要是在課堂教學(xué)中進(jìn)行的，根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，確定具體的教學(xué)目標(biāo)，明確培養(yǎng)何種數(shù)學(xué)能力要素，并通過有效的教學(xué)手段去實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).這方面，從自己的教學(xué)、老教師的經(jīng)驗(yàn)、外出觀摩教學(xué)等活動(dòng)中，我總結(jié)概括出以下學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)策略.

（一）某些特殊數(shù)學(xué)能力要素的培養(yǎng)策略

針對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，我認(rèn)為有以下培養(yǎng)策略：a.精選應(yīng)用題材，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)現(xiàn)實(shí)的問題情境；b.切實(shí)培養(yǎng)閱讀理解能力和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)譯能力；c.充分發(fā)揮例題的示范引導(dǎo)作用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用透視力；d.構(gòu)造合理的問題數(shù)學(xué)體系，加強(qiáng)數(shù)學(xué)模式再認(rèn)；e.增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)踐環(huán)節(jié)，大力提倡做中學(xué)；f.培養(yǎng)數(shù)學(xué)化的探究精神和頑強(qiáng)毅力；h.提高教師自身的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

在推理能力的培養(yǎng)問題中，推理能力的培養(yǎng)途徑是多方面的，不僅可以通過幾何的教學(xué)來實(shí)現(xiàn)，在代數(shù)、統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中也可以進(jìn)行推理的訓(xùn)練.因此，在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、歸納、實(shí)驗(yàn)、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想的能力；尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例的能力；有條理地表達(dá)自己思考過程的能力和用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論質(zhì)疑的能力.最后，要把推理能力的培養(yǎng)融合在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，把推理能力的培養(yǎng)落實(shí)到不同內(nèi)容領(lǐng)域之中，通過學(xué)生熟悉的生活，發(fā)展學(xué)生的推理能力.

對(duì)數(shù)學(xué)抽象概括能力的培養(yǎng)，教學(xué)時(shí)，首先，要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念、命題的概括能力訓(xùn)練.通過具體實(shí)例，在分析、綜合、抽象的基礎(chǔ)上概括出概念的本質(zhì)屬性，是培養(yǎng)學(xué)生概括能力的有效手段；其次，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)模式和方法的概括能力.

（二）數(shù)學(xué)能力的綜合培養(yǎng).

根據(jù)學(xué)生平時(shí)情況分析，我認(rèn)為數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)策略有以下幾個(gè)方面.

第一，各種能力因素的培養(yǎng)應(yīng)在相應(yīng)的思維活動(dòng)中進(jìn)行.數(shù)學(xué)思維能力及各構(gòu)成因素是在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中形成和發(fā)展的.所以，有必要開發(fā)好的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).數(shù)學(xué)思維活動(dòng)可以看作按下述模式進(jìn)行的思維活動(dòng)：a.經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)描述，即借助于觀察試驗(yàn)、歸納、類比、概括積累事實(shí)材料；b.由積累的材料中抽象出原始概念和公理體系并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上演繹地建立理論；c.數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用.

第二，各能力因素的培養(yǎng)要有專門的訓(xùn)練.教學(xué)過程中應(yīng)設(shè)計(jì)一些側(cè)重某一能力因素的訓(xùn)練題目.能力的培養(yǎng)需要一定的練習(xí)，但不是盲目地做題，要有規(guī)律地去練.

第三，教學(xué)在不同階段應(yīng)有不同的側(cè)重點(diǎn).每一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)都可以分入門階段和后繼階段.在入門階段，新知識(shí)的引入要基于最基本、最本原、最一般與原有知識(shí)聯(lián)系最緊密的材料上，使學(xué)生易于過渡到新的領(lǐng)域，要盡早滲透新的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生思維能有一般性的分析方法和思考原則，這樣才有利于思維能力的發(fā)展.后繼階段是思維得以訓(xùn)練的好時(shí)期，由于有了入門階段建立起的思維框架，加之學(xué)習(xí)的深入，已經(jīng)掌握了學(xué)科的核心部分及學(xué)科的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)生的思維空間得到拓廣，各項(xiàng)思維能力因素都應(yīng)得到訓(xùn)練.

第四，注意學(xué)生的思維水平.在平時(shí)教學(xué)中，要對(duì)題目進(jìn)行舉一反三，一題多解，變通求活，優(yōu)化學(xué)生的思維方法；另外，要拓展外延，探索規(guī)律，激活學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展；互換角色，共同探討，挖掘?qū)W生的思維能力.例如，在復(fù)習(xí)課的試卷評(píng)講中，我嘗試在教師的啟發(fā)和組織下，由學(xué)生擔(dān)當(dāng)“講解員”并帶動(dòng)全體學(xué)生積極思考、主動(dòng)解決問題，讓他們自覺獨(dú)立思考，培養(yǎng)以及最大限度地挖掘他們內(nèi)在的思維潛力.

第五，教師備課應(yīng)盡量彌補(bǔ)教材的不足.在教學(xué)中，如果照本宣科，解法單一，重講輕評(píng)，就難以調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性.而對(duì)于典型的問題，如果能把學(xué)生的解題思路作為素材進(jìn)行提煉、擴(kuò)大和變通，然后再介紹給學(xué)生，使學(xué)生能從多個(gè)角度對(duì)已做的習(xí)題產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)，突破知識(shí)的固定范圍，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高解題的應(yīng)變能力.例如，解方程（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=0，就可以運(yùn)用因式分解法、換元法、待定系數(shù)法以及利用根與系數(shù)的關(guān)系等方法來解題，經(jīng)過比較可以得出因式分解法最簡(jiǎn)便的結(jié)論.

從上述三個(gè)大方面來看，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一定的情境，把握學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，適時(shí)加以引導(dǎo)，讓他們主動(dòng)去思考、探究、發(fā)現(xiàn)，從而提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.也讓知識(shí)在構(gòu)建中不斷完善和補(bǔ)充，能力在探索中不斷地得到鍛煉和提高，情感在體驗(yàn)中不斷地得到激發(fā)和充實(shí)，學(xué)生成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主人也才能夠不斷地得以實(shí)現(xiàn).因此，教師就得精心去設(shè)計(jì)教學(xué)過程，創(chuàng)造一定的問題情境，這樣有助于激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中積極思考、獨(dú)立探究、掌握知識(shí)、培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，更是教師輸出信息，并獲取信息反饋的重要途徑，也是師生之間情感溝通、認(rèn)識(shí)的主要渠道，從而達(dá)到豐富知識(shí)、提高能力.

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