一類Kuramoto Sivashinsky方程的顯式解

連穎穎,王宏偉

(安陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南安陽(yáng) 455000)

1 引言

在研究空間三維Belousov-Zhabotinski型反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的角相位湍流時(shí),Kuramoto[1]導(dǎo)出了如下一類四階Kuramoto Sivashinsky(KS)方程

其中u=u(x,t)是未知函數(shù),λ＞0被稱為反擴(kuò)散常數(shù).這個(gè)方程也被Sivashinsky[2]用來(lái)研究空間二維層焰面的微熱擴(kuò)散不穩(wěn)定性問題.此外,該方程在其他領(lǐng)域還有廣泛的應(yīng)用[3].近年來(lái),該方程的很多性質(zhì)被廣泛研究[4–6],如非平凡解的分岔與穩(wěn)定性、吸收集半徑、漸近吸因子、零解的可控性、時(shí)間離散化與穩(wěn)定性區(qū)域等.

本文將在半無(wú)界區(qū)域上研究如下一類KS方程的初邊值問題

KS方程Cauchy問題的研究已有很多結(jié)果[7–9].而初邊值問題的適定性和數(shù)值計(jì)算至今尚未解決.本文將采用近年來(lái)在相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)提出的新的一致變換方法(UTM)來(lái)研究方程(1.2)的顯式解,這個(gè)方法的最新進(jìn)展參見文獻(xiàn)[11–13].利用UTM方法得到的顯式解的公式,可以為后續(xù)KS方程初邊值問題的適定性和數(shù)值計(jì)算的研究提供新的思路.

本文的主要結(jié)論由下面的定理給出.

定理1初邊值問題(1.2)的顯式解是

2 顯式解的推導(dǎo)過(guò)程

假定v(x,t)=eikx?ω(k)t是方程vt+vxxxx+vxx=0的一個(gè)解,代入方程中得到KS方程的象征關(guān)系式ω(k)=k4?k2,ω(k)在顯式解的求解過(guò)程中起著關(guān)鍵的作用.

首先把方程寫成散度形式,這樣做的目的是便于使用Green公式.設(shè)u(x,t)是方程(1.2)的解,則

(2.1)式就是和(1.2)式等價(jià)的散度形式的方程,把它稱為方程(1.2)的局部關(guān)系等式.

將(2.1)式在區(qū)域D={x≥0,0＜t≤T}上作二重積分,得到

使用Green公式,有

即

定義在半直線上函數(shù)u(x,t)的Fourier變換為

這里Re(?ikx)=xImk≤0.另外,記

則下列整體關(guān)系等式成立

把上式中的T替換為t,并令

則有

定義區(qū)域

由于

由Fourier逆變換公式,得到

利用與Fokas[14]文中的第一章命題1.1證明類似的方法,可以證明

圖1

在上式中,?(x),f(x,t)是已知的,因此第一、二項(xiàng)直接可得.在后兩項(xiàng)中,積分路徑已知,被積函數(shù)G(k,t)中存在未知項(xiàng)g2,g3.下面用g0,g1來(lái)表示g2,g3.解方程k4?k2=μ4(k)?μ2(k),除μ(k)=k之外,還有三個(gè)根

且滿足

聯(lián)立以上兩式,解得

將g2(ω,t),g3(ω,t)代入(2.3)式,就可以計(jì)算(2.5)式的第三項(xiàng)

但其中有兩部分包含未知函數(shù)u,即

由于被積函數(shù)項(xiàng)在C+上是有界解析的,且當(dāng)k→∞時(shí),它們一致收斂到0,利用Jordan引理可知,上面兩個(gè)積分均為0.令

則

同理,令

則

定理得到證明.