基于媒體報道下的一類SIRS傳染病模型研究

張 林,李存林,郭文娟

(1.北方民族大學數學與信息科學學院,寧夏銀川 750021)

(2.北方民族大學管理學院,寧夏銀川 750021)

1 引言

隨著社會經濟的快速發展,傳染病和流行病給人們的生活、社會發展等帶來了很大的危害.越來越引起了許多生物數學和疾病預防等工作者的重視,并取得了一些研究成果[1–5].考慮如下經典的SIRS傳染病模型[6]:

其中符號皆為正的常數,意義表示如表1.

表1:符號及其含義

眾所周知,通過媒體報道可以降低人與人之間的接觸率,這在2003年的非典[4,7,8]和2013年的H7N9[9]傳染病中已經得到了證實.作為一種新型的傳染病H7N9于2013年首次出現在上海,它和非典一樣,短時間內在人類迅速傳播開.后來人們通過電視的報道了解到H7N9是通過人與人之間的接觸傳播的,于是大部分人采取盡量少出門,少參加一些社會活動來降低人與人之間的接觸率,這確實在一定程度上減少了疾病的傳播.

然而,模型(1.1)中并沒有考慮媒體報道對傳染病的影響.事實上,由于媒體報道的因素,傳染率β是會減小的[4].因此將傳染率β表示為媒體報道的函數,即β=β1?β2f(I),那么模型(1.1)轉換為

其中β1是不考慮感染者的一般接觸率,β2是因感染者的存在而減少的最大接觸率.因為每個人與他人的接觸不可避免,故而假設β1＞β2.函數f(I)滿足

模型(1.2)是在模型(1.1)的基礎上考慮了媒體報道對疾病的影響,并且證明了R0=1的情形,即當R0=1時,無病平衡點仍然是全局漸進穩定的.本文第二節首先給出了模型(1.2)的基本再生數,并討論了模型(1.2)平衡點的存在性;第三節在平衡點存在的情況下討論其無病平衡點和地方病平衡點的全局漸進穩定性,從而得知疾病的滅絕與持久是由基本再生數控制的.最后通過數值模擬對得出的結果進行了驗證.

2 基本再生數和平衡點的存在性

首先給出模型(1.2)的一個控制疾病持久與滅絕的臨界值[10]–基本再生數[11]

設Nt=St+It+Rt,將模型(1.2)中的三個方程相加可得

兩邊同時對t積分

因此

根據上述推理現在定義一個有界集Γ:

下面繼續討論地方病平衡點 E?=(S?,I?,R?)的存在性.設E?=(S?,I?,R?)是下列方程組的一個解

對方程組(2.3)求解可得

且

令

根據假設(H1)可知F(I)是一個減函數,因此

若R0＞1,F(I)=0存在一個正解I?,則模型(1.2)存在唯一的地方病平衡點E?=(S?,I?,R?),其中

3 平橫點的全局漸進穩定性

下面討論模型(1.2)的無病平衡點E0和地方病平衡點E?的全局漸進穩定性.

定理3.1 若R0≤1,則模型(1.2)的無病平衡點是全局漸進穩定的.

證 定義一個Lyapunov函數

∈足夠小.則有

令

因此

分析 θ1Λ(β1? β2f(I))? μ(1+αI2)(θ1(μ + ν+ δ)? θ2ν),有

將上面的不等式代入(3.2)式,可以得到

(1)當R0＜1時,

(2)當R0=1時,θ2=0,從(3.3)式可以得到當且僅當根據LaSalle不變原理,模型(1.2)的任意解都收斂到B,其中B?{(S,I,R):,I=0,R=0}是模型(1.2)的最大不變子集,即B={E0}是一個單點集.因此,當R0≤1時,在有界集Γ中,E0是全局漸進穩定的.證畢.

定理3.2 當R0＞1時,模型(1.2)存在唯一的地方病平衡點E?=(S?,I?,R?)是全局漸進穩定的,且E0是不穩定的.

證 將E?代入模型(1.2)的Jacobian矩陣

J(E?)的特征多項式為

為了計算b1,b2,b3的值,令

其中

進一步計算可得

因為

由于b1＞0,b2＞0且b3＞0,則J(E?)的三個特征值的實部都非負,由Routh-Hurwitz準則可知,E?是局部漸進穩定的.

令Nt=St+It+Rt,把(1.2)式中的三個方程相加得則方程(1.2)變為

且N?=S?+I?+R?.接下來繼續證明模型(1.2)的地方病平衡點E?是全局漸進穩定的,則只需要證明模型(3.6)的解(N?,I?,R?)是全局漸進穩定的.考慮下面的Lyapunov函數

其中k1和k2是正常數.V的倒數為

根據LaSalle漸進穩定定理[12,13],可知模型(1.2)的地方病平衡點E?是全局漸進穩定的,又

4 數值分析

下面給出例子對以上結論進行驗證.選取一個滿足條件(H1)的函數模型(1.2)可化為

下面對(4.2)式中的參數賦值計算如下表2.

表2:各參數取值計算

通過MATLAB軟件運算作圖如圖1.

圖1:對于三組不同的參數值,模型(4.1)的解S(t),I(t)和R(t)的時間序列圖

分析上圖可知在圖1(a)中,因為R0＞1,計算得

選取不同的初值時,S,I,R最后都將趨于唯一的地方病平衡點E?,這說明疾病是持久的;在圖1(b)中,因為R0=1,計算得E0=(2.0000,0,0),此時E?是不存在的,通過選取不同的初值,S最后都將趨于=2.0000,而I和R逐漸趨于0,即疾病滅絕;在圖1(c)中,因為R0=0.5333＜1,計算得E0=(1.3333,0,0),此時,E?也是不存在的,且選取不同的初值,S最后都將趨于=1.3333,而I和R逐漸趨于0,即疾病滅絕.

綜上所述,無病平衡點E0=(,0,0)是恒存在的,當R0＞1時,存在一個地方病平衡點E?是全局漸進穩定的,而當R0≤1時,疾病滅絕.

5 結論

流行病的傳播給人們的生活帶來了巨大的損失和傷害.因此,本文討論了一類確定性SIRS傳染病模型的持久與滅絕:當基本再生數R0≤1時,疾病是滅絕的;當R0＞1時,疾病是持久的.然而在現實生活中,流行病不可避免地受到隨機因素的影響,所以下一步將要討論不確定環境下隨機擾動對模型(1.2)的影響.