分數布朗運動下帶交易費用和紅利的兩值期權定價

韋才敏,林先偉,范 衠

(1.汕頭大學數學系,廣東汕頭 515063)

(2.汕頭大學數字信號與圖像處理技術重點實驗室,廣東汕頭 515063)

1 引言

期權定價的研究是數理金融的核心內容之一.自從1973年著名的Black-Scholes模型和結果發表后,期權定價理論和應用得到了迅速發展[1].但是經典Black-Scholes模型過于理想化,與實際存在很大程度的摩擦.而分數布朗運動具有金融市場所需要的長時間相關性和自相似性等特征,其已經成為描述標的資產價格過程的一個有力工具.1989年Peter[2]提出了將資產價格的變化用分數布朗運動來刻畫,并論證了資產價格服從幾何分數布朗運動則其收益率服從分形分布;Ducan[3]研究了關于分數布朗運動的隨機積分理論;Elliot和Hoke[4]研究了在Hurst指數在情況下的分數布朗運動,他們通過Wick積的方法得到了Girsanov定理和分數It?o公式;Hu和?ksendal[5]通過Wick積分和分數白噪聲分析進一步發展了分數布朗運動積分理論,證明了It?o型分數Black-Scholes市場無套利且完備的;Christian和Bender[6]將其推廣到任意Hurset指數.

交易成本對于期權定價來說是一個重要的因素,許多學者對此做了很多研究.Leland[7]提出了將修正的波動率應用在解決有交易費用的Black-Scholes模型的對沖誤差;Gaussion[8]證明了在分數布朗運動下任何正的成比例交易成本大小能夠消除套利機會.Zhang和Pan[9]給出了分數布朗運動模型下帶交易費用和紅利的亞式期權定價公式.Wang[10]解決了在分數布朗運動下離散時間的含有交易費用期權定價問題.此外,隨著交易市場的不斷成熟,由標準的看漲期權和看跌期權衍生出的非標準化產品日益增多,這些產品稱之為新型期權.兩值期權就是新型期權的一種.目前關于兩值期權的研究有:Thavaneswaran等人[11]用模糊理論研究兩值期權的定價問題;袁國軍[12]在半離散化CEV過程中得到兩值期權價格的差分格式;Hofer和Leitner[13]研究了兩值期權的相對定價問題;吳云和何建敏[14]推導了兩值期權的解析解并闡述了二叉樹方法在兩值期權定價中的應用;孫天宇[15]研究了標準布朗運動下帶交易費用和紅利的兩值期權定價問題.然而,在標準布朗運動下研究兩值期權定價,并不符合實際的金融市場.

本文在上述研究的基礎上,將標準布朗運動下帶交易費用和紅利的兩值期權定價問題推廣到Hurst指數為的分數布朗運動更一般的情況.假設標的資產服從幾何分數布朗運動,通過無風險套利原則和分數It?o公式建立了分數布朗運動環境下兩值期權的定價模型.利用偏微分方程的相關知識求解此模型,得到了現金或無值看漲期權(CONC)和資產或無值看漲期權(AONC)的定價公式,并由此推出了現金或無值看跌期權(CONP)和資產或無值看跌期權(AONP)的定價公式.

2 基本模型

兩值期權(binary option)是合同條款變化產生的新型期權,具有不連續收益的特點[16].一般分為兩種類型:

(1)現金或無值看漲期權(cash-or-nothing call)(簡寫為CONC):在到期日,若股票價格低于執行價格,則期權價值為零;若大于執行價格,則按規定支付現金1元.

(2)資產或無值看漲期權(asset-or-nothing call)(簡寫為AONC):在到期日,若股票價格低于執行價格,則期權價值為零;若大于執行價格,則按規定支付股價.

引理1(分數It?o公式[9])假設V=V(St,t)是一個關于St和t的二元函數,隨機過程St滿足以下隨機微分方程

從而得到

其中μt,σt分別表示漂移項和擴散項,BH(t)={BH(t),t≥0}是一個帶有Hurst指數H(0＜H＜1)的分數布朗運動.

定義1[10]假設(?,F,P)是一個完備的概率空間,Hurst指數為H(0＜H＜1)的分數布朗運動BH(t)={BH(t),t≥0}是一個連續的高斯過程,且滿足

(1)BH(0)=E(BH(t))=0;

風險資產(如股票)價格St滿足下列隨機微分方程dSt=(μt?qt)Stdt+σtStdBH(t),其中μt,qt,σt分別表示預期收益率,紅利率和波動率,BH(t)={BH(t),t≥0}是一個帶有Hurst指數H(0＜H＜1)的分數布朗運動.

考慮標的資產支付紅利,紅利率為qt,到期日為時間T,敲定價格為K,作以下假設

(1)假設標的資產(股票)價格St服從幾何分數布朗運動

這里μt,qt,σt分別表示預期收益率,紅利率和波動率,它們都是關于t的已知函數,BH(t)={BH(t),t≥0}是一個帶有Hurst指數的分數布朗運動;

(2)沒有稅收,允許賣空;

(3)沒有無風險套利機會;

(4)投資組合的預期收益率等于無風險利率;

(5)投資組合被每個δt修正,其中δt是有限的,固定的,小的時間間隔;

(6)有成比例交易成本.設k表示每單位股價的雙向交易成本.假設以價格St買入(νt＞0)或賣出(νt＜0)νt份股票,那么買入或賣出的交易成本為其中k 為常數.

令V=V(St,t)表示CONC(或AONC)在時刻t的價格.構造一個投資組合:一份CONC(或AONC)多頭,Δt份標的資產空頭.在時刻t投資組合的價值為Πt=V?ΔtSt.應用分數It?o公式,在[t,t+δt]時間段內,

其中 νt= Δt+δt? Δt.

為了使投資組合Πt在[t,t+δt]無風險,取,從而可得

其中

由于股票價格St滿足(2.1)式,則得

因此,可得交易費用如下

忽略高階項o(δt),有

因此

由假設(4),得到

將(2.2)式代入(2.3)式,得到

將(2.4)重寫如下

其中

注1

稱為分數次Leland數.

注2對于做空的單個歐式兩值期權,也可以得到(2.5)式,若修正波動率如下

注3對于做多的單個歐式兩值期權,到期日的收益為(ST?K)+或(K?ST)+.由于它們是凸函數,所以Γ＞0.然而,對于做空的單個歐式兩值期權,到期日的收益為?(ST?K)+或?(K?ST)+.它們是凹函數,所以Γ＜0.因此,對于單個的歐式兩值期權,(2.6)和(2.7)式能夠做如下表示

從而得到在分數布朗運動下帶交易費用和紅利的兩值期權定價模型如下

這里H?(ξ)是 Heviside函數.如果 ξ≥ 0,那么 H?(ξ)=1.否則,H?(ξ)=0.

3 兩值期權定價公式

3.1 現金或無值期權定價公式

定理1假設股票價格滿足(2.1)式,在時刻t帶有交易費用和紅利的現金或無值看漲期權的定價公式為

證 由方程組(2.8)可以得到現金或無值看漲期權定價模型如下

因此,轉化為Cauchy問題

為求解Cauchy問題,作函數變換W=V eβ(t),η=ξ+α(t),τ=γ(t),可得

將式(3.3)代入上述方程(3.2),得到

因此,方程組(3.2)轉化為如下行形式

方程組(3.5)的解可以用Possion公式如下表示

經過變量代換,有

推論1 假設股票價格滿足(2.1)式,在時刻t帶有交易費用和紅利的現金或無值看跌期權的定價公式為

3.2 資產或無值期權定價公式

定理2假設股票價格滿足(2.1)式,在時刻t帶有交易費用和紅利的資產或無值看漲期權的定價公式為

證 由方程組(2.8)可以得到資產或無值看漲期權定價模型如下

為求解Cauchy問題,作函數變換W=Ueβ(t),η=ξ+α(t),τ=γ(t),可得

將式(3.8)代入(3.7)式,得到

從而得到

推論2 假設股票價格滿足(2.1)式,在時刻t帶有交易費用和紅利的資產或無值看跌期權的定價公式為

注4對于單個歐式兩值期權,如果做多頭,因為Γ＞0,Leland數有可能大于2Ht2H?1,即當

時,方程(2.8)變成正向拋物型方程的終值問題;因為正向拋物型方程的終值問題是一個不適定問題.所以為了使定解問題(2.8)是適定問題,必須要假定

這表明交易費用比較小,或者對沖風險的過程不能太頻繁,否則應用Leland模型求解有交易費用的期權價格是不正確的.

本文研究了在分數布朗運動下帶交易費用和紅利的兩值期權定價問題,將標準布朗運動下的帶交易費用的兩值期權定價問題推廣到Hurst指數為分數布朗運動的情況下.根據兩值期權的分類分為現金或無值期權和資產或無值期權兩種情況.通過利用無風險套利原則和分數It?o公式,得到與之對應的數學模型.求解此模型得到了現金或無值看漲期權和資產或無值看漲期權的定價公式,并在此基礎上得到了現金或無值看跌期權和資產或無值看跌期權的定價公式.在這個領域還有很多問題去研究,比如在Levy過程,混合分數布朗運動下討論此類問題.