初中數學“動點問題”的巧妙解法

摘要：初中數學動點問題是教學中的重點問題，尤其是在初三階段和中考里這一內容是必定出現的問題。動點問題一般考查的內容比較廣，它是綜合性很強的一類題目，也是中考中易丟分的題目。在平時的學習或中考中這一部分往往會給學生帶來一些苦惱。鑒于此，探究動點問題的解法，對提高學生學習的積極性就具有了重要的意義。在本文中筆者結合自己的教學實踐和中考例題全面論述了解決動點問題的技巧，希望能給大家的教學帶來啟示和思考。

關鍵詞：初中數學；動點問題；巧妙解法；例題展示

在初中數學的教學中，探究動點問題是必要的。因為探究動點問題有助于提高學生探究數學的能力，有助于發展學生的抽象思維能力，有助于提高初中數學的教學效益。但是在平時的教學中，我們的教師總是籠統地講授知識和方法，所以學生很難找到得心應手的方法，下面筆者就從分類的角度來闡述動點問題的解題方法。

一、 函數類題中的應用

動點問題和函數相結合是中考常考題型之一，這類題目一般以選擇題的方式出現，其難度相對較小。這一類題型其實是以動點問題為載體，實際上考查的是函數關系的基本知識點。解答這類題只要細心觀察，總結規律就可以找到答案。

【例1】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從A點出發，按A→B→C的方向在邊AB和BC上移動。記PA=x，點D到直線PA的距離為y，則y關于x的函數圖象大致是（）

分析：①點P在AB上時，點D到AP的距離為AD的長度，②點P在BC上時，根據AD∥BC，可知∠APB=∠PAD，再利用相似三角形列出比例式，并整理得到y與x的關系式，從而得解。

二、 存在型題中的應用

動點問題經常和三角形、四邊形、菱形等圖形結合起來考查學生關于動點是否存在的問題，大多數學生一看到問題變得復雜便直接放棄，其實這類題目都是有方法可循的，在解答這類題目時要采用以靜制動的方法，先假設該點存在，再去證明推導，最后得出結論。

【例2】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=7m，BC=4m，AB=4m。現有動點P以2m每秒的速度從點A向點D運動，動點Q以3m每秒的速度沿D—C—B的方向運動。若P，Q兩點同時出發，一個點停止運動時另一個也停止運動，連接PQ，設運動時間為x（s）。請問在整個運動過程中，是否存在x的值使得三角形DPQ為直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

分析：本題需要作一條輔助線CH垂直于AD，并在此基礎上進行分析，如圖所示：

當點Q在CD邊上的時候，若∠PQD=90°時，解得x=1；若∠QPD=90°時x=3519，其值大于53，此時點Q不在CD邊上，所以舍去x=3519。

當點Q在BC邊上的時候，可知BQ=AP，此時x=95。

所以，存在x的值使得三角形DPQ為直角三角形，且x=1或x=95。

三、 最短距離問題的應用

最短距離問題是動點問題中相對簡單的一類題型，難度不高、方法單一。在解決此類問題時運用最多的就是勾股定理、軸對稱和兩點之間線段最短等知識點。要想在解題中快速得到答案，學生不僅要熟練掌握書中的知識點，還要經常運用，只有這樣才能快速掌握解題方法。

【例3】在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為。

分析：這類題目看似有一定的難度，其實不然，這類題可以借助輔助線來解答。連接BD，DE，根據正方形的性質可知點B與點D關于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值，進而可得出結論。

四、 最值問題中的應用

動點問題求最值常常和二次函數、圓結合起來進行考查，這類題目是難度比較大的一類題目。解答這類題目沒有固定的、唯一的方法，所以在平時的教學中教師一是要幫助學生樹立解答此類問題的信心，二是要給學生選擇一些具有共性的問題進行練習，讓學生在練習中自己摸索規律，最終找到解題的靈感。

總之，要解答初中數學中的動點問題，教師要引導學生從分類的方式來進行解答，只有把動點問題的分類搞清楚了，才能有針對性地解決問題。

參考文獻：

[1]王中文.初中數學動點問題的解題策略[J].讀與寫（教育教學刊），2012（03）.

[2]周煜斌.淺談初中數學的創意法教育應用研究[A].國家教師科研基金十二五階段性成果集（華南卷）[C]，2012.

[3]鄧曉飛.初中數學中一些動點問題的歸類[J].考試周刊，2014（83）.

作者簡介：

蔡晟，福建省廈門市，廈門市觀音山音樂學校。