高三數學復習教學例題的選擇與設計策略

陳麗洪

（福清第三中學，福建 福清 350 30 0）

在高三第一輪數學復習教學中，教師要幫助學生逐一復習每一章節知識點，并詳細總結每一類題型解題的方法與步驟，為學生補缺補漏，很多后進生能夠在有效的高三一輪復習后迎頭趕上，重拾學習信心。因此，高三一輪有效復習顯得尤其重要，而這一目標的完成主要在課堂教學中體現。例題是教師用作示范的典型數學問題，既能幫助學生回憶相關知識點，又起到訓練學生數學思維和提高解題能力的作用。高三復習課主要以各類例題為載體，貫穿于整個課堂教學中。高三復習課堂教學的核心任務就是根據課堂教學目標，精心選擇并設計出一兩個或若干個例題，讓數學課堂教學成為分析問題和解決問題的陣地，引導學生在解題的過程中完成復習任務。然而，數學教學中經常會有這樣的現象：教師已經講過的題，隔一段時間再做，學生的出錯率還是很高。這種現象的出現，有學生的個人原因，但不應把責任都歸咎于學生，教師也要進行反思：課堂例題的選擇是否科學，課堂例題的設計能否符合學生的認知規律。因此，如何做好課堂例題的選擇與設計是教師值得深思研究的一個問題。

一、針對復習教學內容的重難點與高考要求選擇適當的例題

俗話說：“巧婦難為無米之炊。”教師提供給學生的是“米”還是“沙子”，是學生能否做好“這頓解題盛宴”的先決條件。數學例題的選擇應為學生的思維活動，能夠提供一個好的切入口，要為學生的學習活動找到一個好的載體，從而調動起學生的主觀能動性。一個好的數學問題（例題）要具備以下幾個特點：（1）具有包容性，能涵蓋所復習知識的重難點，使所教內容重點得到強調，難點得以化解；（2）具有代表性，能代表某一類題型，使學生能舉一反三，觸類旁通，特別應能符合高考的要求，使學生知己知彼，決勝高考；（3）具有探索性，能調動學生能動性，獨立判斷，富有創造性；（4）能推廣擴充到各種情形。在具體選擇例題時，要能夠選擇符合學生能力的位于“最近發展區”的問題，因此教師要能細致地研究高考題、細致地研究學生思維發展以及知識水平，在此基礎上，提出既能夠有一定難度又能夠使學生力所能及的問題。

在高中數學中，數列是數學教學的重要內容，也是高考考查的知識點之一，但考查難度一般不大。一般而言，學生通過有效的例題訓練，就能較好地掌握。以《數列求和方法之裂項相消法》教學為例，在教學中，教師可以圍繞重難點，先選擇幾個針對性較強的小問題，通過練習，將一個大問題中的難點化解，再選擇幾個符合高考要求的典型例題，分析題型特點，最后總結解決這一類問題的方法與步驟，引導學生發現解題規律。這類例題的訓練對學生考試增分有顯著效果。

(小問題環節)常見的裂項有：

選擇意圖：裂項是裂項相消法中的重難點，師生共同探討這幾個小問題，發現存在的問題，并總結規律。

選擇意圖：第（1）題主要讓學生經歷裂項相消法的完整步驟，強調裂項時系數的配湊，考察學生的計算處理能力；第（2）題的題目形式有所變化，考察學生的應變能力，并再次總結解題步驟。

（1）求{a}的通項公式；（2）求數列的n前n項和；（3）求數列的前n項和。

選擇意圖：第（2）題再次讓學生鞏固裂項相消法的解題步驟；第（3）題是第（2）題的變式，讓學生體會用裂項相消法解題時，也應特別注意消項后余項是哪些。

二、針對學生的解題能力與理解水平對例題進行遞進式設計

選擇好適當的例題，還要能夠對例題的順序和層次進行科學設計。若不能進行科學設計，只是胡亂堆砌，那只能使復習停留在初級程度，學生也只會是簡單機械地模仿解題過程，甚至“消化不良”。經過數年的學習，高三學生對事物發展的認知已經達到了一個新的層次，他們的思維也具有更高的抽象概括性，根據高三學生的認知水平和高三復習內容的特點，可對所選例題進行遞進式設計。這種設計模式有利于學生摸清知識的生成過程，引導學生主動探索，使學生遇到難題不喪失學習的主動性，以滿足他們更強的探索和創新的需求。

（一）遞進式設計例題，化解疑難題型

應用導數研究函數性質是高考考查的重點和難點，壓軸題往往以導數應用為載體，因此，這一部分是高三復習的重要內容，其中，對含參數函數單調性的研究更是高三學子很難跨越的一道難關。

以《用導數研究含參函數的單調性》教學為例，在教學中，以一個基本問題為核心，針對某一類重要題型的復習，不斷采用變式，形成從簡到繁的解題過程，符合學生掌握知識的思維過程。復習過程層層遞進，既具有挑戰性，又能使學生感受到復習的成就感，提高學生學習興趣。

例題設計展示：

題1.求函數f(x)=x3+3ax2-9a2x+12(a＞ 0)的單調區間。

設計意圖：雖含有參數，但對參數進行限制，避免討論，降低難度，但也起到引起注意的作用。講解過程要強調此處對參數限制范圍的重要性，為后續學習做鋪墊。

設計意圖：讓學生鞏固上一題的方法，學以致用，增強學生學習自信心，消除對含參數函數的恐懼心理。

題3.求函數f(x)=x3+3ax2+9x+12的單調區間。

設計意圖：適當加大難度，激發學生求知欲。有了前兩題做鋪墊，學生能夠自然過渡到對參數進行限制的思考，教師可引導學生弄清分類標準（二次方程判別式的討論）。

設計意圖：對參數進行限制，類似題1與題2，使學生有解題的意愿，但解題過程仍需對參數進行分類討論（二次方程根的大小討論），與題3相呼應，培養學生的解題應變能力。

題5.求函數f(x)=(a+1)1nx+ax2+1的單調區間。

設計意圖：進一步鞏固對含參函數單調性研究的方法，分類標準增加，有一定難度，教師適當引導，學生分組，自主討論得到結論，體驗成就感。

（二）遞進式設計例題，把握知識本質

圓錐曲線也是高考考查重點，但大部分學生對圓錐曲線幾何性質的理解并不深刻，為使學生能掌握圓錐曲線幾何性質的本質，教學中也可采用遞進式設計例題。以《橢圓》教學為例，在教學中，教師從問題出發，深挖問題內涵，抽絲剝繭，可以使復習教學逐層深入，讓學生從較高的方位把握知識內容。具體例題設計如下：

（能力測評）例1.已知橢圓C的左焦點F1(-q1,0)，且點在橢圓上，求C的標準方程。

設計意圖：測評了解學生程度，更好把控課堂教學節奏，并回顧相關基本知識點。

設計意圖：以高考題為例，引發學生興趣，體會兩個獨立條件即可確定橢圓，并引出橢圓的幾何性質。

設計意圖：通過分析發現條件不足，不能確定橢圓大小，但能確定橢圓形狀，從而體會橢圓離心率表示的幾何性質。

（變式訓練）例4．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2+60°，求橢圓離心率的取值范圍。

設計意圖：弱化條件，引出焦點三角形，體會焦點三角形能全面確定圓錐曲線，提煉出以直線研究曲線的方法，使復習達到另一高度。

高三一輪復習有知識點全面、題型多樣等特點，所以復習方法也應多樣化，以針對不同的復習內容和不同學生的實際情況。教師在例題的選擇與設計上應精心思考，選擇好的例題并對其順序和層次進行合理設計，以提高學生學習效率，使復習達到事半功倍的效果。

總之，課堂例題的選擇與設計中，教師應對每一道例題的設計意圖都能做到心中有數，準確把握例題的分量，恰當確定它的使用方式，促進學生進行數學思考，幫助學生在解題過程中整體把握各章節知識內容，構建完整的知識體系，培養學生提高解題能力，掌握解決數學問題的策略與方法。此外，高三復習例題在選擇與設計中還應貫徹解惑原則，也就是針對學生的學習誤區設計例題；普化原則，即能從例題中提煉數學通性通法等。

當然，無論怎樣選擇與設計課堂例題，高三復習課不僅要體現寬度、厚度、高度，教師上課時還應該要有“溫度”，即加強與學生互動，帶動學生回憶知識點；授之以漁，幫助學生掌握解題模式和方法；并催發學生學習動力，增強學生戰勝困難的意志和毅力，提高育人效果。