引導多思深思 提高數學思維素質

蔡永康

（石獅市第一中學，福建 石獅 362 70 0）

心理學家吉樂福特把創新能力解析為六個主要成份，即敏感性、流暢性、靈活性、洞察性、再定義性、獨創性。這六大成份，無一不與思維素質密切相關;而思維素質的訓練，總離不開思維廣度的拓展與思維深度的開掘。從這個意義上來說，充分利用教材，引導學生多思廣思，在思維訓練過程中不斷提高思維素質，以求達成創新能力的培養，這是素質教育的呼喚，是每個教育教學工作者所應負的重要使命。對此，文章僅取“一題多思”和“一題深思”的角度作狹義例析。

一、一題多思，激活思維，培養思維的敏感性、流暢性和靈活性

思維的敏感性、流暢性、靈活性，即指容易接受新事物，發現新問題;思維敏捷、反應迅速、對特定的問題情境能順利產生多種反應或提出多種答案;具有較強的應變能力和適應性，具有靈活改變定向的能力。

在課堂教學中，結合具體問題情境，不失時機地引導學生從多角度、多層次去觀察、分析問題，有意識地尋求多種途徑去探討同一問題，在熟練掌握常規方法的基礎上力求創新，有所突破，將有助于提高思維的敏感性、流暢性和靈活性。

題一:求sin210°+cos240°+sin10°·cos40°的值。

一般思路:從局部觀察，式中有3個二次三角式，都可利用三角公式變為一次式，接著再經過合并和變形轉化，就解決了問題，即:

這種解法，只是按常規的降維思維，經過和差化積、積化和差的相互變換實現求解目的。這是一般層次的教學。

高一些層次，即著眼于思維能力得到進一步訓練的教學，則應當充分利用現有教材的題例，引導學生變換觀察和思維角度，鼓勵多思，盡可能挖掘教材內在的思維訓練因素，使教學情境呈現多元化的思維圖象。分析如下:

事實上:

其中，式①有可視為勾股定理的結構，式②有可視為余弦定理的結構。這就拓寬了我們的解題思路，由此生發出多種解題方案:

［方案一］利用勾股定理的特殊結構和題中隱含的特殊角的關40°-10°=30°系進行變形轉化，可得到下面解法：

［方案二］利用余弦定理的特殊結構進行轉化，可得：

這實際上就在無形中產生了將學生思維從“數”向“形”轉化的可能，由此改變了思維的方向。我們可以從形的角度去思考，激活學生的思維，誘發他們的探求的欲望。

作 出 三 角 形ABC，使AC=sin10°,BC=cos40°,∠ACD=120°

可以看到：

圖1

圖2

這就實現了數形的轉化。但從“形”上仍不能看出原式的值是多少，若將③④式進行對比，促進學生把正弦定理代入④，得到另一個三角函數式：

為了消除⑤③的差異，不妨作出三角形ABC的外接圓，設外接圓直徑CD=1，（如圖2），從而易知AB=sin120°。

上述過程，概括地說，是一個由數而形，由形獲值，多次發散，由淺入深的思維訓練過程。我們還可以繼續推進：

反思“方案二”的解題思路及所產生的結論，注意到cos40°=sin50°，于是③式可化為sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°=sin120°……⑥（這是圖1中所涉及量價的關系式，是對圖1內在邊角關系的具體描述），實質上就是余弦定理的三角形式：sin2C=sin2A+sin2B-2sinA·sinB·cosC教學過程至此，學生將豁然領悟，頓足而呼：“早知直接運用這個余弦定理的三角式，問題不就迎刃而解了嗎？”

的確，利用余弦定理三角式，可以獲得如式⑥那樣簡捷優美的解法，簡化了整個“方案二”的思維過程；而“方案二”的教學過程功不可沒，它深化了學生對余弦定理三角式的認識，進一步完善了學生的認知結構，頓時使課堂充滿了活力和激情，靈感的火花達到一觸即發的境界。

于是，教師因勢利導，讓學生再從圖2去觀察獲取：不但在三角形ABC中應用余弦定理可求AB2，在三角形ABC中運用余弦定理同樣可以求得AB2。

觀察原式與⑦式，不難發現這兩個式子是“一對”對偶式。于是，利用配對法又開始了新的認知：

這樣，學生從中享受到一題多思的樂趣，從而產生新的更高的學習要求，教學中的思維訓練有了良好的動機背景。

上述教例展示了這樣一個事實：不失時機地引導一題多思，即通過對題目的特征、解題的思路、問題的結論等進行觀察、聯想、試驗，不斷調整觀察、思考的角度、方式，以新的觀點去看待思考的對象，分析解決所研究的問題，可以事半功倍地開發學生固有的、潛在的解題智慧，培養學生敏感、流暢、靈活的思維品質。

二、一題深思，推進思維，培養思維的洞察性、再定義性和獨創性

洞察性、再定義性和獨創性是在一般思維素質的基礎上發展起來的，是思維不斷深刻而產生質的飛躍的結晶。在教學過程中，教師應精心設計問題情境和教學方法，引導學生開展類比、對比、分析、歸納、聯想等一系列思維活動，鼓勵他們大膽提出教學猜想和創見，使學生不斷獲取“獨創”的“成果”，將有利于提高創造性思維能力。

題二：已知a＞b＞c＞0，求證

對這一習題，學生首先想到的是左邊通分，然后證明分子、分母都小于零，這種解法比較繁瑣。高中學生正處于思維發展時期，一般地說他們不會滿足于這樣就能解題結束了。教師利用學生的這種求異求精心理，可以因勢利導引出：

思考一：能否設法將盡可能多的分母化成單項式，以簡化運算過程？學生解題方案如示：

求異求精實質在于創新。當學生對上述證法獲取一定的感性認識時，教師可進一步推出——

思考二：能否直接利用a-b,a-c,b-c的關系直接證明呢？學生通過直覺思維易于發現：a-b＞bc＞0從而得出：

即證。

觀察和探索是知覺和思維相互滲透的復雜的認知活動，不斷地將觀察到的事物和已知或假說進行聯系思考，就易于發現新線索。到此教師可以引導學生作更深一層的思考。

設a＞b＞c，是否存在最大的正數K，使恒成立？如果存在，求出正數的最大值；如果不存在，請說明理由。分析如下：因為a-c＞0，所以原不等式等價于通過類比，聯想到基本不等式：對于是有：

[(a-b)+(b-c)]這 里 ，ab＞0,b-c＞0）當月僅當a+c=2b時等號成立，所以原不等式恒成立的實數K的最大值是4。

思維的深刻度達到一定程度時，就能見人所未見，發人所未發，情境如下：

這則教例給我們樹立了一種信心：洞察能力、再定義能力、獨創能力，并非什么神秘莫測的東西，更不是專屬高智商人群所獨有的心智現象；同樣，培養學生思維的洞察性、再定義性和獨創性，也并非高不可攀的目標，即使不依托專門的先進教材背景，依然可以有所作為。只要能充分利用現有教材，善于發掘教材的潛在功能，敢于并善于在教材題例的變形、解題途徑的開辟、求解結論的引申、聯想激情的調動等方面提出大膽積極的假想，并附之富有深究性和激勵性的教學試驗，那么，在數學教學中實現這思維“三性”的培養，便不是可望而不可及的。