“化歸”思想在高考中的應用

摘 要：本文結合高考題的析解，從化歸的內涵入手，具體敘述了化歸的5種類型：直接與間接的轉化、困難與容易的轉化、未知與已知的轉化、數與形的轉化、高層次與低層次的轉化。

關鍵詞：化歸；內涵；類型；例析

所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種策略。化歸的著眼點在于發現新問題與舊問題之間的類似，在于抓住新、老問題之間的真正的、規律性的聯系。化歸思維的實質是通過事物之間的聯系和矛盾運動，在變換中實現問題的規范性（熟悉或易于處理），即將待解決的問題變化（轉化）為規范間題，從而使新問題得以解決。[1]所以，它不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。化歸在高考題中出現的次數極高。下面以2017年高考數學理科全國卷Ⅰ為例，談談化歸思想的認識。

一、直接與間接的轉化

（2017新課標全國卷Ⅰ）11.設為正數，且，則（）

解析：注意到本題所給的條件，如果根據題設直接比較的大小，操作比較困難。在進一步觀察題設時，我們不妨利用指數與對數的轉化來找出本題的切入點。接下來根據對數的圖象的性質來判斷大小，以達到解題的目的。而這充分體現了化直接為間接的方法。

二、困難與容易的轉化

（2017新課標全國卷Ⅰ）21.已知函數

（1）討論f（x）的單調性；

解析：此題牽扯兩個未知量a，x，如果直接運用定義求解單調性，是比較困難的，而且出錯率較高。因而我們很容易想到利用導數法判斷f（x）在區間（a，b）內的單調性：①確定函數的定義域并求f（x）；②確定f'（x）在區間（a，b）內的符號；③作出結論：當f'（x）>0時，f（x）為增函數；當f'（x）<0時，f（x）為減函數。這就將一個較為困難的問題轉換為一個簡單的問題。

f（x）的定義域為（-∞，±∞），

①

三、未知與已知的轉化

（2017新課標全國卷Ⅰ）9.已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+2π/3），則下面結論正確的是（）

A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π/6個單位長度，得到曲線C2

B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π/12個單位長度，得到曲線C2

C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的1/2，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π/6個單位長度，得到曲線C2

D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的1/2，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π/12個單位長度，得到曲線C2

解析：根據題設，我們都有一定的思路來求解。但也有可能因為對變換規律不清楚或者不能正確地將平移前后的三角函數名化為同一三角函數名而出錯。因而解決三角函數圖象的變換問題需要把握兩點：（1）三角函數名的統一。（2）三角函數變換規律即“變量變化”與“圖象變化”的關系。這都是對未知化已知的體現。而此題的難點恰恰在于能否正確的化為同一三角函數名。

根據主線圖，可清晰地看出該題的求解步驟及思路。因此選D.

四、數與形的轉化

（2017新課標全國卷Ⅰ）16.如圖，圖形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D，E，F為圓O上的點，分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，使得D，E，F重合，得到三棱錐，當的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_________。

解析：根據題意，我們作出要所求的三棱錐圖形——圖（2），并確定三棱錐體積中所要求的各個量。再根據題目所給數據，對這各個量進行表示，最終求得結果。本題目充分體現了數形結合的方法，以直觀形象給人以思路，順利解題。

如圖（1），作OH⊥AC，垂足為H，連接EH。由題意知，點O，H，E在一條直線上。設OH=x，則AC=，HE=5-x，

如圖（2），設D，E，F重合于點S，則根據題意，點S在平面ABC上的投影為圓心O，所以

五、高層次與低層次的轉化

（2017新課標全國卷Ⅰ）18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°。

（1）證明：平面 PAB ⊥平面 PAD；

分析：解決直線與平面垂直問題的常用方法有：①利用線面垂直的定義；②利用線面垂直的判定定理；③利用面面垂直的性質。但是，由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉化，因此整個證明過程可以圍繞著線面垂直這個核心展開，這也是化解空間垂直關系難點的技巧所在。這種解題方法充分證實了化高維為低維是一種不可忽視的解題方法。

首先根據已知條件，證明AB⊥PD；然后，根據線線垂直到線面垂直的轉化，證明AB⊥平面PAD；最后，根據線面垂直到面面垂直的轉化，證明平面 PAB ⊥平面 PAD。

化歸，不僅要求“變”，還要求在此基礎上，達到一種“統一”。高考題中蘊藏著的這些化歸方法，我們怎樣才能在最短時間內發現，以達到一種高效的狀態呢？還有，這對我們平時的學習或者教學又有什么要求呢？這些都是值得我們思考的問題。

參考文獻

[1]趙小云，葉立軍.數學化歸思維論[M].北京：科學出版社，2005：178.

作者簡介：

孫若涵（1994.08-）女，漢，籍貫：山東淄博，在讀研究生，研究方向：學科教學（數學）

（作者單位：聊城大學數學科學學院）