物理矢量和標量學習中需要厘清的幾個問題

高守貴

一、矢量之間的運算結果未必還是矢量

1.矢量之間加減，矢量和標量之間乘除，其結果仍是矢量

矢量的加法通常用平行四邊形法則，由平行四邊形法則可推廣至三角形法則或正交分解法等。矢量減法是矢量加法的逆運算，一個矢量減去另一個矢量，等于加上那個矢量的負矢量。矢量加、減法即是矢量之間的合成或分解，結果仍然具有方向性，依然是矢量。

矢量和標量的乘積或除法可認為將矢量放大或縮小。如F=ma，F與a同方向；v=S/t，v與S同方向。毫無疑問，運算的結果仍為矢量，方向不變。

2.矢量和矢量之間的乘積，其結果未必是矢量

矢量和矢量的乘積可以構成新的標量，矢量間這樣的乘積叫標積。如a=B·C，a變成了標量，大小是a=bccosθ，（θ是由B和C所成的夾角）。

矢量和矢量的乘積也可能構成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。如力矩M=r×F=rFsinθ，感生電動勢ε=Lv×B=LvBsinθ，洛侖茲力F=qv×B=qvBsinθ等，都是這種情況。

二、矢量和標量學習中容易混淆的幾個問題

1.有方向的物理量未必是矢量

電流有方向，但是電流卻是標量，電流的運算遵循一般的代數法則。電流的方向是人為規定的，即正電荷定向移動的方向為電流的方向，電流的方向與真正矢量的方向有區別。

2.極少數矢量也遵循一般代數法則運算

力矩是矢量，而合力矩的運算卻遵循代數法則。這是因為在同一平面上的力矩方向只有逆時針方向（正力矩方向）和順時針方向（負力矩方向）的緣故，它的運算方法簡化為代數加減。

3.標量不能進行正交分解

因為標量沒有方向性，所以分解標量在物理意義上是行不通的。

如論證平拋運動中物體的機械能守恒：設物體質量為m，水平初速度為v0，下落高度為h。

常見的錯誤論證如下：根據平拋運動的特點，水平方向的分速度不變，所以水平方向機械能不變，運動過程中都是mv02。豎直方向相當于自由落體運動，初位置的機械能為重力勢能，大小為mgh；下落h高度后，豎直方向的分速度為√2gh，此時重力勢能全部轉化為動能，大小也為mgh，所以豎直方向的機械能也不變。故機械能守恒，命題得證。

上述論證在物理意義上是行不通的。因為只有力、速度等矢量才能進行正交分解，而功和能都是標量，所以不能進行正交分解，無所謂“哪個方向上能量守恒”。由于對標量、矢量在物理意義區分上出現混淆，才造成上述錯誤。

三、矢量和標量的辨別方法

1.矢量和標量通常的辨別方法

物理矢量和標量最本質的區別是它們的定義、性質、物理意義不同，不考慮方向無法完全確定的物理量是矢量；它們之間最明顯的區別是運算方法不同，通常矢量運算并不遵循代數法則，而是幾何運算法則即平行四邊形法則等。

2.從維度方面來區別矢量和標量

矢量和標量的區別就是他們所依存的空間是多少維的，矢量一般需要二維或者三維，特殊情況下簡化為一維，而標量是一維的或者根本就沒有方向。

以力為例深入地分析矢量的維度和運算，如果幾個力方向相同或相反，即簡化為只在一個維度即一條直線上，它們之間的合成簡化為代數加減。如果兩個共點力方向成一定夾角（不等于0°或180°），則它們在兩個維度即一個平面上，它們之間的合成只能依照平行四邊形法則等幾何運算法則來運算；若有三個或更多的共點力，則任取兩個力合成后取合力，此時一個合力代替了這兩個力而減少了一個力，再用合力與第三個力合成減少一個力，依此類推，直至求出最終的合力，即使這些共點力不在同一個平面上，形成在三個維度即立體空間中合成，運算方法也不變，n個共點力合成需要合成（n-1）次。

總之，只有從概念本質理解物理標量和矢量，掌握運算規律，才能掃除學習上的障礙，從而更加深入地理解物理量的物理意義。

參考文獻：

[1]陳慎騏.物理學中標量和矢量辨別[J].課程教育研究，2016（20）：155.

[2]米志華.物理量矢量與標量誤判分析[J].中學物理，2015（1）：21-22.