構造法在中學數學中的應用

用構造法解題時，被構造的對象是多種多樣的，按它的內容可分為數、式、函數、方程、數列、復數、圖形、圖表、幾何變換、對應、數學模型、反例等，從下面的例子可以看出這些想法的實現是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結規律：在運用構造法時，一要明確構造的目的，即為什么目的而構造；二要弄清楚問題的特點，以便依據特點確定方案，實現構造。下面按構造對象的不同將構造方法分成六類分別予以舉例說明。

1.構造輔助數與式

在求解某些數學問題時，利用矛盾的對立統一性，充分揭示條件與結論的內在聯系，探索構造適宜的數或式，來架設解題的通道。

例1. a，b正數滿足 a3+b3=2，求證：a+b≤2.

分析：條件式中次數是3次，而結論式中是1次，所以需要降冪。

又結論式是不等式，當且僅當時成立。于是考慮構造均值不等式。

解 由均值不等式得：

（1） （2）

由（1）+（2）變形整理得：.

2.構造函數

在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想組合一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數證（解）問題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標。

例2 證明：如果，那么.

證明 構造函數

易證在R上是奇函數且單調遞增

∵

即：

又∵是增函數即.

3.構造方程

方程，作為中學數學的重要內容之一，與數、式、函數等諸多知識密切相關。根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解。構造方程是初等代數的基本方法之一。如列方程解應用題，求動點的軌跡方程等即屬此法。

對于較復雜的問題，就需根據條件進行框架的設計。為了運用判別式證明不等式，就需構思一個“一元二次方程” 框架。

例3. 已知，求證：

分析：設法構造一個一元二次方程，使以其系數或常數項的面目出現，再由得到不等式.

設， 易證，再求得

則就是方程的兩個實根，由.

4.構造數列

在處理與自然數n有關的數學問題時，根據題目所提供的特征，通過替換、設想等構造出一個與欲解（證）問題有關的數列（數組），并對該數列（數組）的特征進行分析，常可獲得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質與數列有關，那么該問題就可以考慮運用構造數列的方法來解。

對于某些關于自然數的不等式問題，與數列有著密切的聯系，這時也可構造有關的數列模型，利用其單調性解決.

例4. 求證： .

分析：構造數列模型 ，

則有

=，所以數列為遞增數列.

又因，故 （其中n N+），即原不等式得證.

評注 欲證含有與自然數n有關的和的不等式，可以構造數列模型，只需證明數列是單調遞增，且.另外，本題也可以用數學歸納法證明，但用構造數列模型證明簡潔.

5.構造幾何圖形（體）

如果問題條件中的數量關系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系，則可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數量關系直接在圖形中得以實現，然后，借助于圖形的性質在所構造的圖形中尋求問題的結論。構造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標系得到的解析幾何圖形。

例5.求函數的值域

解析：

其幾何意義是平面內動點到兩定點和的距離之和。為求其值域只要求其最值即可，易知當三點共線（P即在線段MN上）時，f（x）取得最小值，，無最大值，故得函數的值域為.

6.構造函數模型，解決數學實際問題

在解答數學實際問題時，引進數學符號，根據已知和未知之間的關系，將文字語言轉化為數學符號語言，建立適當的函數關系式（考慮自變量的取值范圍）。再利用有關數學知識，解決函數問題。這樣既可深入函數內容的學習，也有利于增強學生的思維能力和解題實踐能力。

例6 [9]某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品，共50件。已知生產一件A種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。按要求安排A，B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你設計出來；

解；設需生產A種產品x件，那么需生產B種產品（50-x）件，由題意得：

解得：∵x是正整數

∴x=30或31或32

∴有三種生產方案：①生產A種產品30件，生產B種產品20件；②生產A種產品31件，生產A種產品19件；③生產種產品32件，生產B種產品18件。

從以上各例不難看出，構造法是一種極富技巧性和創造性的解題方法，它體現了數學中發現、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數學方法，構造法解題重在“構造”。它可以構造圖形、方程、函數甚至其它構造，就會促使學生要熟悉幾何、代數、三角等基本知識技能并多方設法加以綜合利用，這對學生的多元思維培養學習興趣的提高以及鉆研獨創精神的發揮十分有利。

因此，在解題教學時，若能啟發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想則能得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力。“構造法”作為一種重要的化歸手段，在數學解題中有著重要的作用。運用構造法解數學題可從中欣賞到數學之美，感受到解題之樂，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養多元化思維和創新精神大有裨益。

作者簡介：于兆海（1986—），男，漢族，山東臨朐人，菏澤學院學士，壽光市明珠小學，數學教師。