Matlab在數學分析中的教學研究

摘要：Matlab在數學分析中的計算方面有突出的表現，本文主要介紹了如何使用MATLAB語言的符號運算工具箱來求解曲線積分和曲面積分.這樣的話，它可以使得學生對數學積分的計算變得不那么頭疼，并且也可以運用圖形繪制來理解較難的問題，使得學生更愛學數學分析。

關鍵詞：matlab；曲線積分；曲面積分；圖形繪制

《數學分析》是對于學生來說是一門必修的專業(yè)課。對于該課程的定積分應用這一部分的學習，特別是對于重積分的學習，是讓學生感到很頭疼的一件事。而matlab工具就具有強大的運算功能，只要輸入命令就能很方便快速解答。下面我分別從曲線積分、二重和三重曲面積分的求解三個方面說明這個方法：

一、 曲線積分及MATLAB求解

曲線積分

若設f（x，y，z）在空間曲線L上的函數，則它的總質量為：I=∫Lf（x，y，z）ds，該式子即為第一類曲線積分。其中，對于s則表示曲線上某點的弧長，則題意為對s進行積分。

【例1】計算由m=kcos5u，n=ksin5u（k>0）所圍成圖形的面積。

解：matlab編程如下（運用A=12∮Lxdy-ydx公式計算面積）

syms h j k u dh djj=k*sin（u）.^5；h=k*cos（u）.^5；

dh=diff（h）；dj=diff（j）；int（1/2*（h*dj-j*dh），u，0，2*pi）；結果應為A=15k2π128。

二、 曲面積分與MATLAB求解

（一） 曲面積分

曲面積分為I=Sφ（x，y，z）dS。其中，dS為小區(qū)域的面積，故這類積分又稱為對某區(qū)域的曲面積分。若S由z=f（x，y）給出，則該積分可變成對區(qū)域積分或為面xy上的二重積分I=σxyφ[x，y，f（x，y）]1+f2x+f2ydxdy，這里σxy為積分區(qū)域。

【例2】求S（u2+v2）dS，其中S是由l=1和2u2+2v2+l=6所圍成。

解：l=6-2u2-2v2，則fu=-3u，fv=-3v，1+（-3u）2+（-3v）2=1+3u2+3v2。

Matlab運行程序如下：Syms k h；l=6-2*k^2；

I=int（int（k^2*（1+3*diff（l，k）^2）.^（1/2），k，0，（3）^（1/2）），h，0，2*pi）

結果應為：I=（pi*（867*6960^（1/2）-3^（1/2）*log（145^（1/2）+12）））/2304。

【例3】計算曲面積分I=S（5kl+6lm+7mk）dkdl，其中S在橢球面（k-3）2a2+（l-2）2b2+（m-2）2c2=1的上半部分且取它的外側。

解：利用參數方程k=3+asinucosυ，l=2+bsinusinυ，m=2+ccosu，且（0≤u≤π/2，0≤υ≤2π）。所以原來的曲面積分題目可以變成為一般雙重積分來進行求解。

∫2π0∫π/20CRdudυ，其中R=5kl+6lm+7ml，C=kulυ-lυku。Matlab運行程序如下：

syms u v a b c；k=3+a*sin（u）*cos（v）；l=2+b*sin（u）*sin（v）；m=2+c*cos（u）；

C=diff（k，u）*diff（l，v）-diff（l，u）*diff（k，v）；R=5*k*l+6*l*m+7*m*k；

I=int（int（R*C，u，0，pi/2），v，0，2*pi）所求的結果應為：2abπ（11c+48）。

（二） 三重積分的計算

【例4】計算三重積分V（3k2+l2+5m）dkdldm，其中V是由曲面m=7（k2+l2）面和m=25圍成。

解：Matlab程序運行如下：syms h s m；f=（3*h+5*m）*h；

I=int（int（int（f，m，h，（7*h^2）.^（1/2）），h，0，5），s，0，2*pi）

結果應為I=1875π（7+4）2。

三、 總結

通過上述的分析、編程與上機實驗，我們發(fā)現數分積分的計算，不管是對于曲線或曲面若直接計算起來是相對比較麻煩，且需要消耗很多精力和較長的時間，所以我們把這類問題用matlab工具操作又快又準確且它的優(yōu)越性就體現在：運用matlab執(zhí)行的命令既簡單又容易掌握，要用的人只要懂得輸進為數不多的命令就可以達到他們想要的結果。并且用matlab強大的畫圖功能讓我們更為直觀地理解面積和體積的概念，也能讓學生在快樂中學習。

作者簡介：

周春葉，福建省晉江市，福建省晉江市內坑中學。