巧用模擬題梳理導數解題方法

王曼鈴

摘 要 在高考之中導數是相當重要的考點內容，同時其也是學生學習更加高深數學知識的重要基礎。但是學生掌握起來卻存在一定的困難，因此解題時也很難確保正確率。模擬題是重要的學習資源。在文中就如何通過模擬題來梳理導數解題方法進行探討。

關鍵詞 導數；模擬題；解題方法

中圖分類號：D045 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）06-0002-02

在高考試卷中，導數題始終是當之無愧的殺手锏。首先是因為其本身的內容繁雜，學生不易抓住知識的主線和重點；其次，試題形式變幻莫測，考察方式靈活，十分考驗學生高中數學的學習功底。因此，導數題一直是學生解題最困難的地方。

但是，導數的學習并非無跡可尋，筆者認為教師在教學中可以根據試題的類型和難度，將常規題目進行分類，進而針對每一類別分析常規策略，幫助學生提高導數的解題能力，增強學生的學習信心；同時培養學生歸納總結的能力，進而更好地應對高考。

下面是2018年東北三省三校第二次模擬考試的第12題，考察的是利用導數求參數范圍的問題。由于學生對于函數及方程等概念理解不透徹，導致對此題目望而卻步。然而，此題型其實屬于導數的常規問題，下面筆者將以此題目為載體，示范解決參數范圍問題的三種常規方法，以便學生夯實基礎，快速解決問題。

題目：已知當 時：關于 的方程 有唯一實數解，則 值所在的范圍是（ ）

A. B. C. D.

視角1：分離參數法

解法1：將 整理

得 ，

由于 ，所以 故 。令 ，則 ，

，

由于 ，故 恒成立， 在定義域內單調遞增。由 ， 。

所以 。①

且當 時， ；當 時， 。所以，當 時， 單調遞減；當 時， 單調遞增。因此， 是 的最小值點。所以， 由①知， ，

。所以， 的范圍為 。

評注：此方法的關鍵是在分離參數之后，利用導數思想來找出 的最小值，難點在于 的最小值不是可以求出的確定數，需要通過零點存在性定理來判斷最小值點 的范圍，這是解決綜合性題目的一種重要手段。

視角2：直接求導法

解法2：將 整理得

，即 。

問題轉化為 在 時只有一個零點。 ，當 時， 。且當 時， ；且當 時， 。

當 時， ，當 時， 單調遞增， ，所以無零點。當 時， ，當 時， 單調遞減； 當 時， 單調遞增。所以， 由于 在 時只有一個零點，所以 。

設 ，

則 ， 單調遞增。 ， 的范圍為 。

評注：學生需要具備利用導數確定函數單調性的能力，由于此題自變量 的限制，解題中要將極值點 與1的大小進行比較，來確定函數在定義域內的單調性。關于 范圍的討論是本題的關鍵點，需要學生重視和練習。

視角3：圖象觀察法

解法3：原式可整理為

設 。則當 時， 有唯一實數解等價于 圖象只有一個交點。 得 ，且當 時， ；當 時， 。所以 為極小值，也是最小值。 。當 時，由洛必達法則， ；當 時， 。所以， 的圖象如圖所示：

過定點 ，則依題意可知直線與曲線相切。設切點為 ， ，過點 的切線方程為

，將 代入化簡得 。令 ，

則

由于 ，所以 恒成立。因此， 在定義域內單調遞減。由于 ， 。所以 。

， 。

評注：圖象法是解決函數問題最直觀的方法。此題我們可以將原方程分離成兩個函數，將問題轉換成求兩個函數交點個數的問題。此方法的難點在于曲線相切位置的確定，充分考查了學生對于導數幾何意義的理解。同時，可以培養學生數形結合的能力。

通過對一道導數選擇題的思考，既總結了解決導數問題的一般方法，也讓學生們體會了多種高中數學解題所需的技巧與策略，復習了多個與函數、導數相關的知識點，并通過方法的綜合使用達到了溫故知新的效果。高三數學習題課任務量很大，對題目進行深入探究與方法總結方能讓習題課生動并且高效。