淺析數形結合思想在2017全國高考數學Ⅲ卷中的應用

摘要：數學是研究數量關系和空間形式的科學，而數形結合是數學思想中的一種最基本、也是最常見的方法，其重要性不言而喻。將數形結合思想應用在中學術學解題中不僅使一些難以理解的問題大大簡化、清楚易懂，而且能使問題的研究更為深入、全面。

關鍵詞：數學思想；數形結合；試卷應用

一、 數形結合在中學數學中的應用

（一） “以形助數”

1. 在解析幾何中的應用

【例1】（2017全國Ⅲ卷理數10）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點分別為C，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）

A. 63

B. 33

C. 23

D. 13

解：根據題意，畫出圖像可知，以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2，由直線與圓相切的幾何特征知：圓心到直線的距離等于半徑長，列出關于a，b的式子為：2aba2+b2=a，得a2=3b2=3（a2-c2），3c2=2a2，所以3e2=2，63，故答案選A。

2. 在規劃問題中的應用

解決規劃問題最簡單的方法就是在平面直角坐標系中做出其函數圖像，畫出滿足約束條件的可行域。

【例2】（2017全國Ⅲ卷理數13）若x，y滿足約束條件x-y≥0

x+y-2≤0

y≥0，則z=3x-4y的最小值為（）

分析：根據題意作出不等式組所表示的平面區域，即可行域，考慮z=3x-4y，將它變形為y=34x-34z，這是斜率為34、隨z變化的一組平行線，-34z是直線在y軸上的截距，當-34z取最大值時，z的值最小；同時直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時，目標函數z=3x-4y取得最小值；由圖可見，當直線z=3x-4y經過可行域上的點M時，截距-34z最大。即z最小。

解方程組：x+y-2=0x-y=0，得M的坐標為x=1，y=1，所以Zmin=3-4=-1。

（二） “以數助形”

中學數學中的幾何涉及平面幾何和立體幾何，解決幾何問題時常常需要通過分析建立圖形有關的代數關系來探討圖形的幾何性質。利用坐標系解答幾何問題，化幾何條件為代數關系式，將幾何關系轉化為解答代數問題，使抽象的圖形具體化，復雜的問題簡單化。我們只需要利用坐標系表示出相應點的坐標，建立對應坐標間代數關系式求解即可解決。

【例3】（2017全國Ⅲ卷理數12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，若AP=λAB+μAD，則λ+μ的最大值為（）

A. 3B. 22

C. 5D. 2

分析：本題目是以矩形為背景去解決代數問題，故建立平面直角坐標系將λ，μ表示出來，但本題的關鍵在于P點的坐標表示，若僅用x，y將坐標設出來，最后在計算λ+μ時會顯得繁瑣，又P點在圓C上，故可采用參數方程的思想將P點的坐標用三角函數表示出來，從而將題目轉換為求三角函數最值的問題，具體步驟如下：建立如圖所示的平面直角坐標系，則AB=（0，-1），AD=（2，0），由等面積法可知，圓的半徑為25，故圓的方程為x2+y2=45；故可設P（25cosθ，25sinθ）

∵AP=λAB+μAD∴μ=15cosθ+1，λ=-25sinθ+1

∴μ+λ=15cosθ-25sinθ+2=cos（θ+φ）+2≤3，故答案選A。

二、 總結

數形結合是重要的數學思想之一，在中學學習中有著廣泛的應用。本文主要介紹了數形結合思想及其在2017年全國高考數學Ⅲ卷中的應用，數學思想如此的重要，作為一名老師，重要的不是如何解題，而是把這種思想傳達給學生，教會他們熟練第應用其解題。數學思想是數學的靈魂，我們應該善于使用它，在學習中一會數學的奧妙。

參考文獻：

[1]孔令偉.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[D].遼寧師范大學，2012.

[2]牛嘉軒.數形結合方法在中學函數學習中的應用[J].高考（綜合版），2016（06）：233-234.

作者簡介：

羅欽，四川省南充市，西華師范大學。