柯西不等式在高考中的應用

汪會民

【摘要】高考對數列和不等式都有較高的要求，數列和不等式的交匯問題是出題者的喜好，也是高考的難點.這類題目既需要有證明不等式的基本思路和方法，又要結合數列本身的結構特點，有較強的計算技巧，對學生要求較高，具有較好的區分度.本文主要介紹利用柯西不等式解決兩道高考數列不等式問題.

【關鍵詞】數列；不等式；放縮法；柯西

一、一般形式的柯西不等式

設n為大于1的實數，ai，bi=0（i=1，2，…，n）為實數，則（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…anbn）2，

當且僅當b1a1=b2a2=…=bnan時，等號成立.（當ai=0時，規定bi=0，i=1，2，…，n）

推論設ai∈R，bi>0，i=1，2，…，n，則a21b1+a22b2+…+a2nbn≥（a1+a2+…+an）2b1+b2+…+bn.

二、高考原題回放

（2014年廣東高考文科19題）設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N+.

（Ⅰ）求a1的值及數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）證明：對一切正整數n，都有1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13.

證明（Ⅰ）a1=2，an=2n.

（Ⅱ）令bn=1an（an+1）=12n（2n+1）=12n-12n+1，

1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）=12-13+14-15+…+12n-12n+1

=212+14+…+12n-12+13+14+15+…+12n+12n+1

=1-1n+1+1n+2+…+12n+1.

由柯西不等式推論得：

1n+1+1n+2+…+12n+1>（n+1）2（n+1）（3n+2）2=2n+23n+2>23.

綜上所述可得：

1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13.

（2008年陜西理數22題）已知數列{an}的首項a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，….

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）證明：a1+a2+…+an>n2n+1.

證明（Ⅰ）略.

（Ⅱ）因為an=3n3n+2=11+23n，則由柯西不等式推論得：

a1+a2+…+an=11+23+11+232+…+11+23n>n2n+213+132+…+13n=n2n+1-13n>n2n+1.

無獨有偶，柯西不等式也是全國卷的考查要點，下面我們通過幾道試題，了解全國卷對柯西不等式是怎么考查的.

（2017年全國2卷23題）已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：

（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；

（Ⅱ）a+b≤2.

證明（Ⅰ）由柯西不等式得：

（a+b）（a5+b5）≥（a3+b3）2≥4.

（Ⅱ）由柯西不等式得：（a+b）（a3+b3）≥（a2+b2）2，

即2（a+b）≥（a2+b2）2≥（a+b）44，

所以（a+b）3≤8a+b≤2.

（2017年全國1卷10題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，分別交拋物線與A，B，C，D四點，則|AB|+|CD|的最小值為.

解答由拋物線過焦點的弦長公式|AB|=2psin2θ（θ為AB的傾斜角）及柯西不等式推論得：

|AB|+|CD|=2psin2θ+2psin2θ+π2=2psin2θ+2pcos2θ≥8psin2θ+cos2θ=16.

（自編小題）若存在實數x，使得關于x的不等式（lnx-a）2+x2-2ax+a2≤12成立，則實數a的取值集合是12.

在高考的備考過程中，首先要重視基本方法和基本技能的形成，其次在數學學習中要關注數學經典.這些問題在教材中篇幅較少，要通過學習和訓練才能熟練掌握，體現學生的數學素養和能力，如數列通項公式的求法，柯西不等式等內容.

【參考文獻】

[1]范端喜.自主招生數學考典[M].北京：北京大學出版社，2015.

[2]蔡小雄.更高更妙的高考數學二輪復習[M].杭州：浙江大學出版社，2012.