函數思想在中學數學解題中的應用

王蕾

【摘要】函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.函數思想是數學思想的重要組成部分，在高中數學中起到橫向聯系和紐帶連接的主干作用.函數思想的應用，就是根據提出問題的數學特征，構建一個相應的函數關系型的數學模型，用函數知識去解決問題.

【關鍵詞】函數思想；中學數學；數學特征；數學模型

函數思想，就是用運動和變化的觀點分析、研究具體問題量的依存關系，剔除問題中的非數學因素，抽象數學特征，用函數的形式把數量關系表示出來，運用函數的性質解決問題的思想.函數思想的運用，就是對于一個實際問題或數學問題，構建一個相應的函數，利用函數本身的概念和性質等知識去分析問題、轉化問題，從而解決問題.

本文結合中學數學教學特點，從幾個方面對函數思想的應用進行了較系統的總結.

一、運用函數思想求解方程問題

函數與方程既是兩個不同的概念，又存在著密切聯系.一個函數表達式可以看成是一個二元方程，一個二元方程的兩個未知數間如果存在單值的對應關系，那么這個方程也可以看成是一個函數.方程的兩端可以分別看成兩個函數，方程的解就是這兩個函數圖像交點的橫坐標.因此，許多有關方程的問題都可以用函數思想解決.

例1已知q∈（-∞，-1）∪[1，+∞），方程cos2x+sinx-q=0是否有實數根？說明理由.

解由原式得：q=cos2x+sinx，令t=sinx，則q=-2t2+t+1（-1≤t≤1）.

配方得：q=-2t-142+98，由二次函數圖像可知：

當t=14時，q取到最大值98；當t=-1時，q取到最小值-2.

所以，當q∈（-∞，-2）∪98，+∞時，方程無解；當q∈[-2，-1）時，方程有實數根.

如果從方程的角度解決本題，很難找到有效的解題途徑，所以想到把原方程轉化為函數：q=cos2x+sinx，又知cos2x=1-sin2x，問題就轉化為了二次函數的求最值問題，這樣很容易得到答案.

二、運用函數思想解決不等式問題

在求解及證明不等式的過程中，巧妙地構造輔助函數，利用函數的性質使不等式獲證.

例2解不等式8（x+1）3+10x+1-x3-5x>0.

分析本題若直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算比較麻煩，但可以看出8（x+1）3+10x+1=2x+13+52x+1，題中又有x3+5x，所以想到構造函數f（x）=x3+5x，利用函數單調性求解.

將原不等式化為2x+13+52x+1>x3+5x.令f（x）=x3+5x，則不等式變為f2x+1>f（x），∵f（x）=x3+5x在R上為增函數，∴原不等式等價于2x+1>x，解得-1

可見，函數思想解決不等式問題，關鍵在于構造一個適當的函數，熟悉函數性質，弄清函數和不等式的內在聯系，樹立相互轉化的觀點.

三、運用函數思想解決數列問題

數列是特殊的函數，數列的通項公式或前n項和公式可以看作是定義域為正整數集的函數，因此，有些數列問題可以用函數思想來解決.

例3已知數列{an}，其中a1=15，且an+1=an-23，試求當n取何值時，數列{an}的前n項和最大.

解由an+1=an-23，可得an+1-an=-23，由此可知數列{an}是以15為首項，-23為公差的等差數列，所以Sn=15n+n（n-1）2·-23=-13（n-23）2+5293，可見，當n=23時，Sn最大.

本題采用了構造函數的思想，在解決數列問題時，應重視函數思想的滲透，應把函數概念、圖像、性質有機地融入數列中，通過數列與函數的知識交匯，使問題得以簡化.

四、運用函數思想解決三角問題

在三角函數一些較復雜的題目中也常用到函數思想.

例4求當x取何值時，2sin2x-2sinx-5取最小值.

解設y=2sin2x-2sinx-5，令t=sinx（-1≤t≤1），

則y=2t2-2t-5=2t-122-112，

所以當t=12時，y取到最小值-112，即t=sinx=12，因此，當x=π6+2kπ或x=56π+2kπ，k∈Z時，原式取到最小值.

利用換元法將原式化為二次函數求最值問題，變形過程中，根據三角函數本身特性，確定變量t的取值范圍，找到解題關鍵，再利用二次函數求最值方法進行求解.

可見，函數思想貫穿整個中學數學的教學.函數思想的關鍵是構造適當的函數模型，其實質是把所求問題轉化為以函數為背景的問題，再利用函數的有關概念、圖像、性質幫助解決.在教學中應注重數學建模思想的滲透，培養學生的解題能力.

【參考文獻】

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