例談用數形結合解函數題時的做法及易錯點

楊清梅

著名的數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合無限好，數形隔離萬事非”.

數形結合的教學思想就是在解題過程中充分運用數與形兩者存在的關系，將數量關系與空間關系結合起來進行解題的一種方法，也是我國現階段數學教學的重要內容之一.數形結合的教學思想是由以數輔形和以形助數兩個方面組成.形是方法，數是最終的解題目的[1].

本文筆者將從一些課堂實例出發(fā)，例談在函數教學中如何通過研究函數圖像，得到函數的特點與性質，進而更快速地解決問題，并且舉例說明在畫圖時需要特別注意的一些易錯點.

例1已知函數f（x）=x2，01， 若方程f（x）=kx-2有兩個不相等的實數解，則實數k的取值范圍是.

【思路分析】方程f（x）=kx-2有兩個不相等的實數解兩函數 y=f（x），y=kx-2 的圖像有兩個不同的交點.問題轉化為畫兩個函數的圖像即可.函數y=f（x）不含參數，是一個確定的分段函數，可以畫出圖像，函數y=kx-2雖含參數，但可知圖像是一條過定點M（0，-2），斜率不定的直線（相當于繞點M旋轉），問題得以解決.

【解題過程】畫圖如下：

由圖可知，當k∈[3，+∞）時，兩函數 y=f（x），y=kx-2 的圖像有兩個不同交點，即方程f（x）=kx-2有兩個不相等的實數解.

【教學反思】在實際課堂教學中，發(fā)現不少學生的答案還包含k=2，為什么會造成這種錯誤呢？關鍵在于學生對函數的增長速度（即函數的凹凸性）認識不全，對于g（x）=ln（x-1）（x≥2）與h（x）=2x-2（x≥2），兩者都是單調遞增，且均過點（2，0）（交點），是否還有另一交點，取決于兩函數的大小關系，對兩函數二次求導，g″（x）=-1（x-1）2<0，而h″（x）=0，可知g（x）的增長速度比h（x）慢，所以在（2，+∞）上h（x）>g（x），故無另一交點，k=2不是答案.

由于對函數圖像的凹凸情況認識不清，導致在做題的過程中出現錯誤，這種現象很常見.

例2已知函數f（x）=sinπ2x-1，x≤0，logax（a>0且a≠1），x>0 的圖像關于y軸對稱的點至少有3對，則實數a的取值范圍是.

A.0，55

B.55，1

C.33，1

D.0，33

【思路分析】已知函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱的點至少有3對兩函數

g（x）=sin-π2x-1，h（x）=logax（a>0且a≠1） 的圖像在（0，+∞）有三個不同的交點，只需畫出圖像即可.

【解題過程】

1.當a>1時，圖像如下，由圖可知，只有一個交點，不符合.

2.當0

【教學反思】在備課組集體備課中，有教師提出此題目有誤.由上圖，當h（x）的圖像經過點F（5，-2）時，兩圖像的交點個數不是兩個，為此，筆者用幾何畫板驗證（如下圖所示）.當過F點時，兩圖像已相交三個交點.實際上，由g（x）=sin-π2x-1與h（x）=logax（a>1）的凹凸性可知，兩個函數在點F處并不會相切，即不能由h（x）的圖像經過點F（5，-2）得到a的臨界值55（實際上，兩函數相切的切點橫坐標x0<55，由于與本文沒有直接關聯，故在此不贅述）.

為了避免此情況，現將例2改編如下：

變式1函數y=f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[-1，1]時，f（x）=-|x|，若函數g（x）=f（x），x<0，logax（a>0且a≠1），x>0 的圖像關于y軸對稱的點至少有3對，則實數a的取值范圍是.

【解題過程】

1.當a>1時，圖像如下，由圖可知，只有一個交點，不符合.

2.當0

上述兩個例子中，出現錯誤的原因都是由于對兩個函數的增長速度快慢判斷不清，導致畫圖像時出現誤差.在以后做題過程中，若遇到在某個區(qū)間，兩個函數同時單調遞增（減），通過畫其圖像求解交點時，可以通過二次求導判斷兩者增長速度的快慢，進而準確畫圖，避免錯誤.

【參考文獻】

[1]盛繼中.探析高中數學數形結合的解題方法[J].時代教育，2013（10）：135.