“知”如何到“用”

涂悠悠

【摘要】對于函數零點，首先我們會想到的是肯定有難度，然后我們會思考它可以用函數的單調性結合數形結合的思想進行求解，這樣的求解方法其實也就是函數零點存在性定理的應用.然而，由于一些學生對這個定理只是了解，使得其就算求出函數的單調性，但是也想不到用函數零點存在性定理來高效地解題，故筆者結合下列的相關問題，談談函數零點存在性定理在解題中的妙處，領悟研究數學本質的真諦.

【關鍵詞】函數零點存在性定理；巧用妙用；高考真題

一、問題發現與回顧

2017年高考數學全國卷理科Ⅰ（21）改編如下：已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，當a≤0時，f（x）在（-∞，+∞）單調遞減；當a>0時，f（x）在-∞，ln1a單調遞減，在ln1a，+∞單調遞增.若函數f（x）在R上有兩個零點，請求a滿足的關系.

解1化為ae2x+（a-2）ex=x，換元：t=ex化為g（x）=at2+（a-2）t，右邊為y=x是一次函數，再求兩函數有2個交點.

解2賦值法令a=1和a=-1直接求解.

解3（比較好的解法）由零點存在性定理得fln1a<0，進而得解.

本題改編之后是一道函數零點存在性定理的應用題，可是大部分同學的答題情況確是讓筆者感到很詫異，為何還是很多同學求不出.針對這個困惑，筆者進行了相關的調查，發現學生對于函數零點存在性定理對求函數的零點的作用認識比較片面，故書寫此文.

二、定理簡要回顧

函數零點存在性定理的出現對判斷方程的根或根的范圍具有重要作用，在定理中很好地體現了函數與方程的思想，為了體現它的轉化思想，筆者應用下列較為簡潔的思維順序概括如下：① f（x）=0在（a，b）內有解；② 函數在（a，b）內有零點；③ 函數f（x）的圖像在（a，b）內與x軸有交點；④ f（a）f（b）<0.通過教研反饋來看，對④的相關轉化就強調的不是很到位，所以接下了將從幾個方面來闡述直接轉化為④的妙處.

三、定理的應用

（一）只需考慮函數零點所在區間端點范圍的應用

例1方程x2-（m+13）x+m2+m=0的一根大于1，一根小于1，求m的取值范圍.

解1設兩根分別為x1，x2且x10，

∴22-41576

解2設函數f（x）=x2-（m+13）x+m2+m，當m≤-11時，滿足Δ>0和f（1）<0無解；當m>-11時，滿足Δ>0和f（1）<0，∴m∈（-23，23）.

解3（比較好的）只需滿足f（1）<0即可.

點評解1運算量很大，導致最終沒能解出本題.解2很好地應用了方程轉化為函數的零點來求解，但是分類是對問題沒有考慮清楚.解3是最快最簡潔的辦法.對于這類問題筆者又做了如下拓展.

例2設集合A={（x，y）|x2+mx-y+2=0}，B={（x，y）|y=x+1，0≤x≤2}，A∩B≠，求實數m的取值范圍.

解若能將求方程的根轉化為求區間端點的范圍，則可得f（0）f（2）≤0，∴m≤-1.

（二）需考慮函數的相關性質的應用

例3已知二次函數f（x）=x2-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一個零點，求實數m的取值范圍.

解當有兩個不相等實根時，則f（0）f（1）≤0，得-2≤m≤0；當有兩個相等實根，則Δ=0且0

例4已知函數f（x）=a+lnxx的圖像在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，是否存在區間t，t+23（t>0）使函數f（x）在此區間上存在極值和零點？

解易得a=1，函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減.故由零點存在性定理，得f（x）在區間（0，1）存在唯一零點.故可得0

點評主要考查同學們對復合函數零點存在性定理的應用，同時也是高考的熱點之一.

（三）零點存在性定理在高考中的相關應用

例5（2014全國卷Ⅰ理科11）已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是（）.

A.（2，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）

D.（-∞，-1）

分析如果直接考慮函數的單調性再應用函數零點存在性定理這一相關結論，得選C.

例6（2016年全國卷Ⅰ理科數學第21題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.求a的取值范圍.

解① 當a=0時，不符；② 當a>0時，若x∈（-∞，1），f′（x）<0，若x∈（1，+∞），f′（x）>0，∴f（x）在（-∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增.又f（1）=-e，f（2）=a>0，取b滿足b<0且b0，故f（x）存在兩個零點.

當a<0，同理可證，此時f（x）不存在兩個零點.

綜上，a的取值范圍為（0，+∞）.

高考題解題后反思：上面給出的兩道高考題都是函數存在零點，求參數取值范圍的典型題型.例5是選擇題，解法靈活，例6比例5處理起來就更加復雜，需要應用分類討論的思想，但是如果能并運用這類題的做題思路和方法，相信在以后再次看到這類問題時將會更加有信心.

四、感悟反思

在零點方面，重點就是考查函數零點，方程的根和方程與x軸的交點三者之間的轉化.重點考查復合函數求參數取值范圍，求不等式等.經常涉及函數的導函數，極值，最值，比較大小等.筆者認為，應用的根源是對本質概念公式的理解，故筆者認為在平時的教學中需要多引導學生理解函數零點存在性定理的本質意義，才能使學生更好地應用.

【參考文獻】

[1]于先金.二次函數零點式的應用[J].數學教學研究，2003（12）：36-37.

[2]江戰明，范虹燕.知而不熟熟而不透——談向量基本定理的內涵與價值[J].中學數學教學參考，2016（28）：41-44.