淺談初中數學中“圓”的教學策略

段云

【摘要】圓是最簡單的圖形，也是一個特殊的平面曲線圖形.在初中數學教學當中，學習圓的種種特殊性質和解題方法尤為重要.在試卷中關于“圓”的試題占分比率不低，以及在應用題中需要以圓做輔助線減小解題難度.圓有許多特殊性質可以幫助學生解決數學問題.例如，在三角形、正多邊形、求取點的個數的問題中能夠將特別復雜的問題簡單化.所以“圓”是初中數學教學的重要教學內容.

【關鍵詞】輔助圓；弦；直徑；弧；簡化問題；做輔助線；中心對稱；垂徑定理

一、圓的基本定義

圓的定義：圓是一種比較特殊的幾何圖形，指的是在一個平面當中存在的點，這些點都遵從一個特性，它們到一個定點的距離都相等.而滿足條件的這些點的集合就稱為圓.這個給定的點稱為圓的圓心，到這個定點的距離就稱為圓的半徑.在教學當中，用來作圖的工具是圓規.（圓規的設計也正好說明了圓的性質，一個確定的圓心和一段確定的半徑就能畫出一個圓）.圓是一條閉合的曲線，曲線以內為圓的內部，曲線以外為圓的外部.圓之間的內切指的就是兩個圓在圓的內部相切，圓之間的外切指的就是兩個圓在圓的外部相切.這條閉合曲線稱為圓周，圓周的長度稱為圓的周長.

二、與圓相關的一些其他參數

1.弦：連接已知圓上任意兩點的線段.一個圓可以由無數條弦組成，過圓心的弦就是圓的直徑.

2.直徑：通過圓心的弦就是直徑.直徑的兩個端點都在圓周上，用d表示.直徑所在的直線是圓的對稱軸.因為對于一個圓來說，其直徑是唯一大小的.所以直徑是決定圓的大小的單位.

3.弧：圓上任意兩點之間的距離.（將一個圓以任意圓上的兩點截斷可得到兩段曲線，這兩條曲線就是弧）.弧分為劣弧和優弧.小于半徑的弧稱為劣弧，通常用圓上的兩個點來表示，如AB.大于半徑的弧稱為優弧，通常用圓上的三個點來表示，如ACB.

三、圓的對稱

關于圓的對稱有一個重要的定理——垂徑定理.圓的重要性質需要通過垂徑定理來推敲，圓的對稱性也是證明弧相等、線段相等以及垂直關系的重要依據.在進行作圖、做圓輔助線以及圓的計算都涉及圓的對稱.因此，這部分內容是圓教學的重點和難點.

1.圓的軸對稱性及垂徑定理.垂徑定理指的是圓的直徑和弦，以及弦所對的弧之間的對應關系，如弦所對的弧之間的垂直或平分，是解決圓內的弧、角、線段的關系以及垂直關系的定理.

例如，“已知四邊形ABCD是⊙O的內接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6，圓O的半徑是5，則梯形的面積是？”想要求梯形面積就必須知道以下條件：上底、下底、高.求高則成了這道題的難點.由于已知半徑，做一條垂直于底邊的垂直平分輔助線，由輔助線做出兩個三角形，由勾股定理求出未知直角邊，兩直角邊之和就是梯形的高.由梯形面積公式可得梯形面積為49.

2.圓的中心對稱性.圓是中心對稱圖形.中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱.圓的對稱中心點是圓心.圓上所有點都是關于它的對稱中心的對應點.而對應點都在這個圖形上.如果將中心對稱的兩個圓看成一個圖形，那么這個由兩個圓組成的圖形就是中心對稱圖形.

四、圓周角定理

圓周角指的是頂點在圓周上，并且兩邊為圓的兩條弦的角.即圓周角的頂點在圓上，而它的兩邊為圓的兩條弦.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半.在圓周角的有關證明題、計算題當中，如果能從圓心角與圓周角的關系來思考，一般都可以快捷地找到解題思路，從而使問題在短時間內得到解答.

例如，“在一個圓當中，已知一條圓心角為60度的弦，請畫出另外一條與其平行且長度為其二分之一弦.”解題思路：“想要畫出一條與已知弦平行且長度為其二分之一的一條弦，只需要畫一條圓心角為30度的且與其平行的弦即可.”

五、輔助圓的應用

1.畫輔助圓求三角形的度數.求三角形的度數的一般方法為在公共點做一個頂點，然后再畫出三角形的外接圓.從而建立三角形與輔助圓之間的相應關系，從而解決問題.例如，“在一個不規則三角形中做出一個等腰三角形.”解題思路：“只需取三角形任意頂點為圓心以一條臨邊為半徑畫圓，該圓與三角形另一邊的交點則與其相等，從而得到等腰三角形.”

2.畫輔助圓求線段的長度.此方法較為簡單，只需遵循在同一圓內任一半徑都相等的原則.

3.畫輔助圓求正多邊形的面積.正多邊形的面積是一個難點，如果在其外面畫輔助圓，然后通過畫三角形建立圓與多邊形之間的關系，即可簡化問題難度.

六、結語

圓是最基礎的平面圖形，在初中最常見的數學問題中都有涉及.當我們遇到用常規思維方式不能解決的問題時，不妨利用畫輔助圓的方式將問題簡單化，仔細思考圓的各種特殊定義和性質，即可將抽象題目直觀化，進而解決我們遇到的各種復雜問題.

【參考文獻】

[1]趙守文.催生點·激發點·活化點——透過大賽綜觀“圓周角”教學[J].黑龍江教育（中學），2011（22）：67-70.

[2]李龍海.說說圓周角[J].初中生輔導，2014（36）：25-28.