一類特別的廣義積分

【摘要】廣義積分∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）總是收斂的，它的值與α無關.

【關鍵詞】廣義積分；收斂

廣義積分∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）（α為任意常數）是一類非常有趣的積分，不管α取何值，它總是收斂的，并且都收斂于π4.也就是說，該廣義積分的值與α無關.

對于這個廣義積分，如果處理的方法不當，還是很難得到以上結論的.請看下面的處理方法.

∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）

=∫10dx（1+x2）（1+xα）+∫+∞1dx（1+x2）（1+xα）.（1）

而對于積分∫10dx（1+x2）（1+xα），

當令x=1t時，有：

x→0時，t→+∞；x→1時，t→1.

從而∫10dx（1+x2）（1+xα）=∫1+∞-1t2dt1+1t21+1tα

=∫1+∞-tαdt（1+t2）（1+tα）

=∫+∞1tαdt（1+t2）（1+tα）

=∫+∞1xαdx（1+x2）（1+xα）.（2）

聯合（1）和（2）就有：

∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）

=∫+∞1xαdx（1+x2）（1+xα）+∫+∞1dx（1+x2）（1+xα）

=∫+∞1（xα+1）dx（1+x2）（1+xα）

=∫+∞1dx1+x2=arctanx|+∞1

=π2-π4

=π4.

由此可見，廣義積分∫+∞0dx（1+x2）（1+xα）（α為任意常數），確實是不管α取何值，它們都收斂于π4.也就是說該廣義積分的值與α無關.

【參考文獻】

[1]朱雙榮.經濟數學[M].武漢：華中師范大學出版社，2007：126.