新角度下理解曲線以及曲面積分的對(duì)稱性

于亞萍

【摘要】對(duì)于對(duì)稱性的理解，簡(jiǎn)單情況如奇、偶函數(shù)的對(duì)稱性，一元函數(shù)積分的對(duì)稱性等對(duì)于初學(xué)者問(wèn)題不大，但是到了曲線積分，尤其是曲面積分中，因?yàn)閷?duì)稱涉及積分區(qū)域的對(duì)稱以及被積函數(shù)的對(duì)稱，兩方面都要考慮，情況較為復(fù)雜，所以本文提出了一種將連續(xù)函數(shù)離散化的方法，從離散的角度來(lái)理解對(duì)稱性.

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱性；離散化；積分；奇偶性

對(duì)稱是一種美，而且這種美在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，貫穿數(shù)學(xué)中的各個(gè)分支.很多圖形是對(duì)稱的，比如，心形線等等，很多函數(shù)是對(duì)稱的，比如，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)然，積分中也不會(huì)缺少對(duì)稱這個(gè)完美的性質(zhì).利用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化計(jì)算，提高運(yùn)算速度和效率，避免出錯(cuò)，有著非常重要的作用.但是在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，曲面積分對(duì)稱性也是一個(gè)難點(diǎn)，所以為了幫助理解，我們要將連續(xù)函數(shù)離散化.

離散化方法是在分析中經(jīng)常用的方法之一，意思即是將連續(xù)的問(wèn)題化為離散的點(diǎn)來(lái)考慮.

在離散化之前，我們需要做一些合理的假設(shè).眾所周知，點(diǎn)是沒(méi)有長(zhǎng)度、面積和體積的，但是為了描述方便，為了直觀地理解對(duì)稱性，不妨將其理想化，假定點(diǎn)是有面積、體積且是均勻量，并記點(diǎn)的長(zhǎng)度為l*，點(diǎn)的面積為s*，點(diǎn)的體積為v*.

下面從離散化角度來(lái)看積分：

對(duì)于第一類曲線積分，由定義得：

∫lf（x，y）ds=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δsi=li∑（x，y）∈lf（x，y）.

若積分曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，x軸上方的曲線記作L1，x軸下方的曲線記作L2，任取L1上的點(diǎn)（x，y），就有L2上的點(diǎn)（x，-y）相對(duì)應(yīng)，若f（x，-y）=f（x，y），則

∫lf（x，y）ds=li∑（x，y）∈lf（x，y）

=2li∑（x，y）∈L1f（x，y）=2∫L 1f（x，y）ds.

若f（x，-y）=-f（x，y），則

∫lf（x，y）ds=li∑（x，y）∈lf（x，y）

=li∑（x，y）∈L1f（x，y）+li∑（x，y）∈L2f（x，y）=0，

即如果積分曲線關(guān)于x（y）軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于變量有奇偶性，則“偶倍奇零”.

對(duì)于第一類曲面積分，由定義得：

Σf（x，y，z）ds=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi，ζi）Δsi

=s*∑（x，y，z）∈Σf（x，y，z）.

此時(shí)，若積分曲面關(guān)于xOy面對(duì)稱，記xOy面上方的曲面為Σ1，xOy面下方的曲面為Σ2，任取Σ1上的點(diǎn)（x，y，z），必有Σ2中的點(diǎn)（x，y，-z）與之對(duì)應(yīng)，如果被積函數(shù)有：f（x，y，z）=f（x，y，-z），

則有

Σf（x，y，z）ds=s*∑（x，y，z）∈Σf（x，y，z）

=s*∑（x，y，z）∈Σ1f（x，y，z）+s*∑（x，y，z）∈Σ2f（x，y，z）

=2s*∑（x，y，z）∈Σ1f（x，y，z）=2Σ1f（x，y，z）ds.

如果被積函數(shù)有：f（x，y，z）=-f（x，y，-z），則有

關(guān)于其他坐標(biāo)面對(duì)稱情況類似，綜上，即有：如果積分曲面關(guān)于某個(gè)坐標(biāo)面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于第三個(gè)變量具有奇偶性，則適用對(duì)稱性，即“偶零奇倍”.

綜上，可以很容易理解為何要求積分區(qū)域具有對(duì)稱性的同時(shí)，還要要求被積函數(shù)具有對(duì)稱性，也很易理解對(duì)稱性.

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