差分方程在經濟學中的幾個應用

易強 呂希元

【摘要】本文主要探討使用差分方程求解國民消費情況，以及借助薩繆爾森乘數——加速數模型討論人口增長情況.

【關鍵詞】差分方程；消費模型；人口增長

差分方程是經濟學和管理科學等學科中最常見的一種離散型模型.

一、消費模型

若Yt為t期國民收入，Ct為t期消費，It為t期投資，滿足：

Ct=α·Yt+a，It=βYt+b，Yt-Yt-1=θ（Yt-1-Ct-1-It-1）.

其中，α，β，a，b和θ均為常數，且0<α<1，0<β<1，0<α+β<1，0<θ<1，a≥0，b≥0.

消去Ct和It得：

Yt=[1+θ（1-α-β）]·Yt-1-θ（a+b），

容易求得：

Yt=Y0-a+b1-α-β[1+θ（1-α-β）]t+a+b1-α-β，t=0，1，2，…，其中Y0為基期的國民收入.

又由：Ct=αYt+a=（C0-A）[1+θ（1-α-β）]t+A，其中C0=αY0+a為基期消費，A=α（a+b）1-α-β+a.

It=βYt+b=（I0-B）[1+θ（1-α-β）]t+B，其中，I0=βY0+b為基期投資，B=β（a+b）1-α-β+b.

例1小李夫婦為買房要向銀行借款60萬元，月利息是0.005，貸款期為25年，已知每月能有6 500元的結余，小李夫婦想知道每月要償還多少錢（設為常數），進而決定自己是否有能力來買房.

解設A0=600 000元為向銀行借款的金額，月利率為r=0.005，第t個月尚欠銀行At元，設25年=300月還清本息A300=0，每月要還x元，則有如下差分方程：

At+1=At（1+r）-x.

解得：At=A0-xr（1+r）t+xr，

代入A300=0，得：

x=A0·r·（1+r）300（1+r）300-1=0.005×600000×（1.005）300（1.005）300-1≈3867元，

故小李夫婦是有能力買房的.

二、人口增長模型

設xn是某人類群體在第n個時間段（例如，年）末時的總數，若在單位時間段內人口相對增長率為r（出生率與死亡率之差），那么人口增長率與原人口數成正比，從而xn+1=xn+r·xn，即xn+1=axn.

這是一個線形映射的迭代：f（x）=ax，從而xn=axn-1=a2xn-2=…=anx0，故人口增長呈幾何級數.

例2假設人口20年統計一次，且各變量定義如下：

x1（t）——第t個20年間0～20歲人口數；

x2（t）——第t個20年間21～40歲人口數；

x3（t）——第t個20年間41～60歲人口數；

x4（t）——第t個20年間61～80歲人口數.

在第t個20年間21～40歲的人一共生了9個新生兒，顯然：

α=1表示一對夫婦平均生2個新生兒，

α=1.5表示一對夫婦平均生3個新生兒，

α=0.5表示一對夫婦平均生1個新生兒.

忽略幼年、青年、中年的死亡率，忽略41歲～60歲人的生育因素，試求人口增長函數.

解由題意得：

x1（t）=αx2（t），x2（t+1）=x1（t），x3（t+1）=x2（t），x4（t+1）=x3（t）.

整理得：x1（t+1）=αx1（t），

其解為：x1（t）=x1（0）αt，

xm（t）=xm（0）αt，m=2，3，4，

即α>1時，人口越來越多；0<α<1，人口越來越少，并趨向于零；α=1時，人口將維持在一個恒定的水平上.

【參考文獻】

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