運用圖示表征，化解數學廣角教學難點

陳娟梅 李明哲

【摘 要】烙餅問題是人教版教材四年級上冊第八單元數學廣角（優化）例2的教學內容。3個餅的交替烙法總是難以真正發現，運用圖示表征題意、尋找方法、辨別優化、拓展延伸等化解了難點，讓學生的學習真正發生，使學生在不同要求的圖示表征中有所悟、有所想、有所思。

【關鍵詞】圖式表征；數學廣角；教學難點

烙餅問題是人教版教材四年級上冊第八單元數學廣角（優化）例2的教學內容。其內容是：“一個鍋每次最多只能烙2張餅，但餅的兩面都要烙，每面需要3分鐘，那么怎樣烙3張餅才能讓我們盡快吃上餅呢？”其目的是希望學生能合理利用鍋的空間，讓烙餅的時間最短，以此來培養學生的優化意識。筆者查找過相關教學資料、觀看過教學視頻和數次現場的觀摩課，發現“烙餅問題”的教學課堂上會有兩種處理方式：第一種，教師會請做正確的學生說說自己的想法，然后其他同學嘗試著去操作，顯然大部分學生只是模仿，并不知其中的內涵。第二種，教師會主動提出疑問：“有沒有比12分鐘更少的？”或直接問，“9分鐘有沒有可能？”此時學生會東張西望尋找只用9分鐘的同學在哪里，他是怎么操作的。并沒有繼續動手再烙找方法，因為憑學生個體的獨立思考是難以突破的。

“一個鍋每次最多只能烙2張餅，但餅的兩面都要烙，每面需要3分鐘，那么怎樣烙3張餅才能讓我們盡快吃上餅呢？”烙1個、2個餅不管學生動手擺與不擺，學生都不成問題，但是3個餅學生再怎么用交替法擺還是出不來。

最后筆者決定用圖示法讓學生經歷并悟到它能幫助我們解決問題，使學生在尋找方法的過程中有所惑、有所思、有所悟。

一、用圖示表征題意

理解題意是正確解題的前提，對于“烙餅”學生既陌生又熟悉，熟悉的是大街小巷烙餅店很多，有吃過，也有部分學生可能見過烙餅的全過程，但從數學的角度考慮時間問題可能還是第一次，那么讀懂題意就非常關鍵。

題目：“每次最多只能烙2張餅。”學生可能會想為什么只能烙2張，“兩面都要烙，每面3分鐘。”學生會想這又是什么意思。“爸爸、媽媽和我每人1張，共3張。怎樣才能盡快吃上餅？”這個學生覺得好像不成問題，早點烙熟就是了唄。

這個問題的素材“烙餅”是非常現實的一個情境，但相關信息與烙餅要求與實際確實一點都不相符。平時烙餅考慮更多的是口味，肉多還是咸菜多，甜的還是咸的，軟一點還是焦一點。所以看似貼近生活實際的情境實則相差甚遠，需要教師引起關注。先注重理解題意，就拿第一個數學信息來說，如果沒有鍋和餅的圖式表征，學生的問題會很多，上面已作闡述不再重復，所以結合鍋的大小與餅的個數的關系，配上直觀操作圖明白兩面都要烙的意思，一切盡在圖示表征下理解。于是慢慢地剝離了生活烙餅情境，走向數學問題的思考“怎樣才能盡快吃上餅”，實則是思考怎樣烙3個餅花的時間最少。

二、用圖示表征尋找方法

我們所看過的課，基本是讓學生動手烙一烙，文章前面也談過烙1個、2個都不成問題，3個再怎么擺烙都是問題。就像郜舒竹老師所說“手工操作越多，腦力勞動越少”。那么，這節課，可以不讓學生動手擺一擺，而用圖式表征烙餅過程。

教學基本步驟如下：

1.烙1個餅，教師示范并在表格里用圖示記錄過程及時間。

2.烙2個餅，學生自己獨立在表格里用圖示記錄過程及時間。

3.教師出示不同的2個餅的烙法。

4.比較異同點。

思考：以上是兩種合理的不同烙法，有什么不一樣？第一種1張1張烙，第二種2張同時烙，第二種比第一種花的時間少。

5.請在第一種上調整，使其也只用6分鐘。可能出現以下幾種情況：

第一種：劃掉2正2反，畫在第一次第二次的后面；第二種直接用箭頭表示。兩種都給予肯定，教師可否想過，一定會有學生曾經歷過1正和1反放在一起，哪怕你沒有發現，因為此時更關注充分利用空間、省時而操作。讓學生重新經歷修改調整的過程，其意圖是延長了思考歷程，有利于思考力的提高與思維的縝密性。不管對與錯不做更多講解，把更多的時間放在師生、生生探討和質疑烙3個餅的教學環節上。

6.自己在表格上圖示表征3個餅的烙法，巡視發現有以下三種烙法。

出示第一種烙法，首先肯定餅是烙熟了，花的時間也是比較少的，因為能一起烙的已經盡力了。

出示第二種烙法，不急著評價，引導學生發現用的時間更少了，不知可否，要求學生自己琢磨，能否從中得到一點啟發。如有想法在自己的表格上修改調整。

第三種烙法先不出示，是因為怕打亂了正在思考的學生思維。

這樣安排教學，相信當學生直面眼下的具體圖示時，必然會有所觀察、有所比較、有所思考、有所嘗試。給予充分的時間確實有很多學生還是能找出最佳方法并能說明理由。讓剛剛找到新方法的學生說說他的思考歷程。一個學生回答如下：老師，我橫著看覺得3正和3反不可能在一起，豎著看想想2反和3反換一下就可以了。于是一石激起千層浪，換位的可多了，但始終堅持一個原則，同一個餅的兩個面不能同時烙。在這個自我修改、調整、交流對話的過程中學生收獲頗多，有感謝幫助修改第二種方法的，也有感謝對其他方法提出改進的，也有表揚善于認真分析他人方法的，當然不忘表揚講出思考全過程的。烙3個餅很難突破，教師不應急于求成，只有讓學生單獨經歷，與難點相遇，與自己對話，才能留下思考的痕跡。用圖示的優越性，是圖示比動手擺一擺更有效，因為圖示顯性地展示了3個餅的6個面，而3個餅再怎么擺放最多只能看到3個面，6個面清晰地擺在眼前有利于學生進行排列組合。給予足夠的時間很多學生自己能找出最佳方法，而不是教師或優秀學生先展示，因為個別學生的方法并不是學生自己思考的成果，而我們需要的是他們在不知道方法的情況下自己能摸索出一種原創性的方法，這才是數學課最本真的意義。

三、用圖示表征辨別優化

獨立表征烙4個餅的過程。

此時，剛學會3個餅交替烙法的學生是無比興奮，充滿信心和自豪感。發現大部分學生用交替法烙4個餅，他們烙得很投入，很辛苦，此現象很正常。讓學生自己動手，先讓他們嘗試一下剛學會的好方法能激發學習興趣，因為交替法很新鮮，很神奇，能很好地節省時間，學生烙好后特有成就感，此時先給予大力肯定。再要求前2個不用交替法烙，會不會遇到麻煩，最后稍作比較自然而然選擇不完全交替法烙了。那么這時候把所有的偶數個餅先解決，再烙5、7……讓學生自己烙一烙，再比較發現，奇數個餅只要先拿出3個交替烙，其余做偶數個餅處理即可。

四、用圖示表征解決拓展題

其實烙餅問題是有規律的，是有公式的，記住公式可以解決數據更大的問題。但我們的教學不急著總結烙餅的方法，這節課就希望學生有圖式表征的意識，用自己的方法解決與例題不一樣的烙餅習題，不在于餅的個數的繁多，在于圖示表征方法的遷移和親身體會圖式表征的意義。

問題：如果一個鍋最多烙3個餅，請問烙4、5、6個需多少時間？

烙5個餅，有學生在空白表格里認認真真地記錄，有學生在4個的基礎上填補，也有學生不畫圖就知道答案，烙6個餅畫圖的人更少了。總之，先讓學生自主用圖示表征，在表征的過程中經歷思考、調整、修改并慢慢發現規律，沒發現規律也沒事，因為學習真正發生了！

參考文獻：

[1]李海林.美國中小學課堂觀察[M].北京：教育科學出版社，2015.

[2]鐘啟泉.課堂研究[M].上海：華東師范大學出版社，2016.

（浙江省永嘉縣教師發展中心 325100

浙江省永嘉縣少年藝術學校 325100）