在操作體驗中理解概念

李蘭瑛

【教學背景分析】

一、教材分析

“什么是面積”是北師大版三年級下冊第四單元“面積”的起始課。本節課的內容是幫助學生初步建立面積的概念。

學生在此之前一直在研究一維空間的“線”，也就是長度概念，本節課是第一次認識二維空間的“面”，就是面積概念，后續還要研究有關面積的計算，以及應用面積的概念解決實際問題。從一維的長度到二維的面積是“由線到面”的一次質的飛躍。

教材結合四個具體實例，初步感知面積的含義。然后通過實踐操作比較兩個圖形面積的大小及策略的多樣性。學生初步感知在多種方法中用正方形進行測量和比較的優點，從而為后面學習面積單位做好鋪墊。

比對了人教版、蘇教版、北師大版等版本的數學教材，發現多數教材都是先認識面，再來理解面積。重視比較兩個圖形面積大小的實踐操作，讓學生體會比較面積大小策略的多樣性，在度量的活動中幫助學生積累數學活動經驗。在比較的策略上北師大版教材凸顯了鼓勵學生用多種策略去比較面積大小的理念。除了直觀看以外，還分為直接比較——重疊，間接比較——無論是用圓片、小正方形還是畫格子，目的是找到一個標準，用一個“單位”去量，從而理解度量的含義。

到底什么是面積呢？

我們知道，幾何學起源于圖形大小的度量。根據圖形的維數，把度量一維圖形大小的數稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示。

面積概念本身來講是包括形和數。

首先一定和面有關，任何物體都存在它固有的“面”，有平面、曲面，有的物體不只有一個面，露在外面的所有面的總和，也就是我們說的物體的表面。

面的大小就是面積。面是怎么產生的？用牛頓的運動觀點看：“任何一種幾何的量都可以認為是運動而產生?！秉c動成線，線動成面，面動成體。古希臘觀點認為：要尋找制約萬物的最微小元素。由于線動成面，面的大小與線的長度和線運動的距離有關。線的長度不斷變化時，可以求出平均值，仍然看作線長×運動的距離。如果在第一次面對二維空間時，學生頭腦中建立起了這樣的運動觀，平面圖形面積的計算也就尋找到了最本質的思想方法。后續學習的“體”，就可以這樣理解了。如果能夠把面積、體積這些看似孤立的數學知識利用它們的共性串在一起，建立知識間的聯系，從而形成整體，這樣學生對數學概念的理解則會更加靈動、豐厚。

教材中對于面積是這樣定義的：“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積?！彼鼈兊拇笮⌒枰ㄟ^測量得到。面積是一個測量的結果，它本身是一個量。

因此面積核心的意義應該是面的大小。它包含著一個面的大小的定量。

二、學習者分析

調研對象：北航實驗學校小學部三年級（5）班。

調研情況：

1.你覺得什么是面積？（舉例說明）

部分學生對面積有以下的認識：“一個圖形的面。”“只有平面上有面積，不平的面就沒有面積。如拳頭、鉛筆上就沒有?！薄皩嵭牡挠忻娣e，空心就沒有”“側面就沒有面積了，如桌子就只有桌面上有面積，側面就沒有。”可以看出，學生看到的都是物體上的面，但是對于物體表面的認識，對于物體表面的大小關注不多。

2. 你能把下面圖形的面積表示出來嗎？

3. 下面哪個圖形比較大？你有幾種比較的方法？寫出比較的過程。

調研結果分析：

1.學生對于面積的認識是一個漸進的過程，一個不斷完善與豐富的過程。三年級學生處于具體到抽象的過渡時期，對于面積的理解還處于模糊、片面的階段。

2.學生已經具有了豐富的對于面的大小的直觀感知。對于面積相差較大的圖形，比如桌面與黑板面，學生能直接判斷它們的大小。對于面積相近的圖形，學生會采用重疊、畫小正方形等方法來比較圖形的大小。

3.學生已經建立了周長的概念，周長對于學生認識面積具有負遷移。在一個平面圖形中，“邊”屬于強刺激源，“面”屬于弱刺激源，加之長度的學習在先，學生在學習面積時，在潛意識中會受到周長的影響，會覺得周長長的圖形面積似乎更大些。

【教學目標】

1.結合具體實例和觀察、操作體驗，理解面積的意義。

2.引導學生經歷比較兩個圖形面積大小的過程，體驗比較策略的多樣性，豐富度量面積的經驗，發展學生的空間觀念。

【教學過程】

一、在操作體驗中，感知面積的意義

（一）在“涂面”“刷面”的活動中，體會封閉圖形的大小

活動一：涂一涂

師：同學們，喜歡畫畫嗎？老師這里有幾幅畫，想看看嗎？請你仔細觀察，這些畫是怎么畫的？（動態演示一筆畫圖形的形成過程）

生：由一個點出發又回到這個點，一筆畫成的。

師（追問）：首尾相接一筆畫成的圖形是什么圖形？（封閉圖形）

師：你們想畫一個嗎？拿出彩筆在白紙上畫一個，并給它涂滿顏色，開始吧?。▽W生畫完后貼到黑板上）

師：一起看看黑板上的這些圖形，任選兩個比一比，誰的面比較大？誰的面比較小？

師：看來，同學們通過直接觀察就能比較出誰大、誰小。（板書：觀察）

活動二：刷一刷

師：大家看，他們在干什么？

師：仔細觀察，怎么刷？（動態呈現刷墻的過程）

師：老師也想試一試，注意看，如果沿著一個方向，刷一下，就能形成一個面。看近似像什么圖形？為了看得更清楚，我把邊線描重些，大家看我從這點出發，最后又回到這個點。（師邊說邊操作）

師：剛才老師是沿著這個方向刷的，還能怎么刷？（橫刷、斜刷、轉圈刷……）想體驗一下嗎？一會大家就利用粉筆在小黑板上刷出一個面來。要求只刷一下，描出邊線，刷得不清楚也沒關系，不要來回涂抹。能做到嗎？開始吧！（師巡視，讓學生將完成的圖形貼到黑板上）

師：一起看黑板，有近似的長方形、有近似的圓形……比較一下這些圖形的面，誰大？誰小？

師（手指著一個長方形）：如果還是刷一下，要想刷出一個比這個長方形更大的長方形，想象一下，可以怎么刷？

師：剛才我們經歷了涂面、刷面的活動，現在你體會到什么是面積了嗎？ （師板書：封閉圖形的大?。?/p>

（二）在“摸面”的活動中，感受物體表面的大小

師：伸出手掌來，摸摸手掌面的大小。和同桌比一比，誰的手掌面積大？老師和你們比呢？ 摸摸桌面，用手掌去量量桌面，有幾個手掌面大？

師：這是大家熟悉的粉筆盒，它的表面有多大？誰來摸一摸？

師：大家看，這是什么？（出示橘子）橘子的表面有多大呢？摸一摸，感受一下。

師（追問）：到底多大呀？怎么能看得清楚？（剝開2個橘子，一大一?。┫胂笠幌聞冮_的橘子皮會有多大。我們把兩個橘子表面的面積摞在一起比一比，誰大？誰??？

師：看來無論物體的表面是平的、曲的，還是由多個面組成的，它們都有自己的大小。通過剛才的活動，你感受到什么是面積？誰能說說？

生：物體表面的大小，就是這個物體的面積。（師板書：物體表面）

二、在比較中，進一步體會面積的意義

師：在剛才的活動中，我發現無論是比較封閉圖形的大小，還是比較物體表面的大小，同學們通過直接觀察一眼就看出來了，既然大家的眼力這么好，請你判斷一下這兩個圖形的面積誰大？誰?。空l愿意說說？（師邊說邊演示課件，學生爭議）

師：到底誰說得對呢？看來直接觀察確實不好比較，老師想了個辦法。注意看（動態演示）用割補的辦法，轉化成近似的正方形和長方形。

師：現在能看出來了嗎？誰的面積大？（學生繼續爭議）

師：還是看不出來？這樣吧！老師給大家準備了一些材料，四人一組，先商量一下比較的辦法，再開始操作。

師：誰來說說，你們比較的方法？

（1）小組匯報——直接比較

生：剪拼法。（板書：重疊）

（2）小組匯報——間接比較

生：自選單位測量面積（小正方形、扣子、方格紙）

師：現在你對面積有什么新的體會？用這些小的面量大的面，面積的大小可以測量出來。（板書：測量）

生：只要有統一的標準就可以比較面積的大小。

師：剛才大家通過測量比較出湖南的面積比湖北大。事實確實如此，湖南省面積為21.18萬平方千米，湖北省面積為18.59萬平方千米。

三、在歸納梳理中，概括面積的概念

師：今天我們通過一系列的活動體會了面積的意義，現在誰能說說你對面積的理解，什么是面積？ （完善板書）

四、在辨析中，深化面積的意義

師（播放電影片段）：這個電影片段再現了200多年前美國的一段歷史，反映了當時的農場主劃分土地的事。在規定時間里，騎馬出去跑一圈，馬跑過的地方就釘上木樁插上旗子做上標記。這樣圈出來的土地就歸他們自己所有了。感受一下跑馬圈地的場景。

師：請看這幾塊土地，都是馬跑了3千米圈出來的，你要是農場主，選哪塊？為什么？

生：甲土地，因為它的面積大。

師：看來都跑了3千米，圈出的面積卻有大有小。

師：有一匹馬，它在規定時間里跑了5千米。跑得更遠了，圈出的土地會不會更大？為什么？怎樣圈更大？感興趣的同學下課后可以繼續思考。

五、全課總結

今天這節課有什么收獲？還有困惑的問題嗎？

【課后反思】

如何在認識面積時能夠把握概念的本質，對面積有一個清晰的、完整的認識呢？本節課通過設計有效的數學活動，激發學生的學習動機，逐步讓學生對面積的理解，從模糊變得清晰，從片面變得完善，從錯誤變得正確，從零散變得結構化。通過學生親力親為的活動體驗，力求給學生充分感知、操作、體驗、思考的機會，使學生豐富對面積的感性認識，讓活動成為發展學生空間觀念的載體，讓學生在實踐活動中生成豐富的表象，從而建立起面積的概念，發展學生的空間觀念。

我們看到生活中很多熟悉的物體表面或封閉圖形的大小都是靜態的面積，但是它的大小是怎么形成的，就要更深刻地去認識。這些面是怎么形成的？歸根結底是牛頓的發現——“線動成面”。

本節課設計的核心活動就是讓學生用粉筆橫刷、豎刷、斜刷、轉圈刷，形成學生熟悉的平面圖形。讓學生體會到熟悉的平面圖形都可以由一條線的移動形成面。一條線沿著一定的方向連續的運動，運動形成的軌跡，才形成面。線長則面大，移動的距離長則面大，這就是動態的面積。而且面的大小不再是在一個方向上的變化，而是可長可廣的。這就是我們說的學生的認識從一維延伸到二維。這在學生看來是用運動的觀點重新認識長方形、正方形、平行四邊形、圓甚至是邊運動長度也變化的三角形。這些都與后續的圖形學習接軌。這些由靜而動的體驗、觀察、思考，使面積的含義深深地烙在了學生的頭腦中。

因此，在教學中要給學生充分的時間去感知“面”，發展學生對面的感覺；要幫助學生體會面是有大小之分的，發展學生的量感。要讓學生感悟到面的形成過程是“線動成面”。

遵循學生的認知規律，由淺入深地和學生共同經歷“操作感知—形成表象—建立概念”的過程，通過層層遞進的體驗和反思活動，幫助學生逐步豐富和建構對“面積”本質意義的理解。

（北航實驗學校小學部 100191）