數學知識在解決遺傳學問題中的應用

邱國強

(重慶市黔江區教委教科所 409000)

1 孟德爾遺傳定律與數學知識的整合

1.1 例題1 水稻A基因控制某一優良性狀的表達，其相對于不良性狀a基因為顯性。該水稻自交所得的子代中，優良性狀和不良性狀均有出現。某種子公司欲用該水稻作親本，采用逐代自交的辦法獲取優質品種。問： 按上述辦法自交、淘汰、選育、自交……從理論上推算，第n代中，基因型AA、Aa的頻率和基因A、a的頻率分別是多少？

1.2 解析 依題意，該水稻的等位基因Aa在上下代之間的傳遞遵循基因分離定律。其下一代的基因型為： (1/4)AA，(2/4)Aa,(1/4)aa；表現型為(3/4)A ，(1/4)aa。可用數學歸納法或演繹推理法推算出第n代中基因型AA、Aa的頻率和基因A、a的頻率。

1.2.1 方法一——數學歸納法 歸納是在個別中發現一般的推理形式和思維方式。數學歸納法是證明任意一個給定的情形都是正確的(第1個,第2個，第3個，一直下去概不例外)數學定理，側重于證明某結論的正確性。運用數學歸納法的推導過程如下：

P： Aa。F1： (1/4)AA、(2/4)Aa、(1/4)aa。淘汰aa后分別為： (1/3)AA、(2/3)Aa。F2： (3/6)AA、(2/6)Aa、(1/6)aa。淘汰aa后分別為： (3/5)AA、(2/5)Aa。F3： (7/10)AA、(2/10)Aa、(1/10)aa。淘汰aa后分別為： (7/9)AA、(2/9)Aa。……Fn： [(2n-1)/(2n+2)]AA、[2/(2n+2)]Aa、[1/(2n+2)]aa。淘汰aa后分別為： [(2n-1)/(2n+1)]AA、[2/(2n+1)]Aa。

即，基因型AA的頻率=AA/(AA+Aa)=(2n-1)/(2n+1)，基因型Aa的頻率=Aa/(AA+Aa)=2/(2n+1)，基因A的頻率=A/(A+a)={[(2n-1)/(2n+1)]×2+[2/(2n+1)]×1}/{[(2n-1)/(2n+1)]×2+[2/(2n+1)]×2}=2n/(2n+1)，基因a的頻率=a/(A+a)={[2/(2n+1)]×1}/{[2/(2n+1)]×2+[(2n-1)/(2n+1)]×2}=1/(2n+1)。

1.2.2 方法二——數學推理法 演繹推理法是從一般性的前提出發，通過推導(演繹)，得出具體陳述或個別結論的過程，側重于得出結論。運用數學推理法先計算基因組成為Aa水稻連續自交至第n代時基因型AA、Aa和aa的概率，再計算出基因型AA、Aa的頻率，最后計算出基因A、a的頻率。

P： Aa。F1： (1/2)Aa、[(1-1/2)/2]AA、[(1-1/2)/2]aa。F2： (1/2)2Aa、{[1-(1/2)2]/2}AA、{[1-(1/2)2]/2}aa。F3： (1/2)3Aa、{[1-(1/2)3]/2}AA、{[1-(1/2)3]/2}aa。……Fn： (1/2)nAa、{[1-(1/2)n]/2}AA、{[1-(1/2)n]/2}aa。

即，第n代中，基因型AA的概率=[1-(1/2)n]/2，基因型Aa的概率=(1/2)n，基因型aa的概率=[1-(1/2)n]/2。

根據第n代中，基因型AA、Aa的概率，可得： 基因型AA的頻率為AA/(AA+Aa)={[1-(1/2)n]/2}/{1-[1-(1/2)n]/2}=(2n-1)/(2n+1)，基因型Aa的頻率為Aa/(AA+Aa)=[(1/2)n]/{1-[1-(1/2)n]/2}=2/(2n+1)。

根據第n代中，基因型AA、Aa的頻率可得： 基因A的頻率為A/(A+a)={[2×[(2n-1)/(2n+1)]+1×[2/(2n+1)]}/{[2×[(2n-1)/(2n+1)]+2×[2/(2n+1)]}=2n/(2n+1)，基因a的頻率為a/(A+a)={1×[2/(2n+1)]}/{[2×[(2n-1)/(2n+1)]+2×[2/(2n+1)]}=1/(2n+1)。

1.3 拓展運用 基因型為Aa的親本連續自交，若aa不能適應環境而被淘汰,則第三代A、a的基因頻率和AA、Aa的基因型頻率依次為多少？

解： 從遺傳學知識可知，純合體自交后代能夠穩定遺傳。根據題意可知，基因型為aa不能適應環境而被淘汰；n=3。直接利用上述結論可得：

F3基因型AA的頻率=AA/(AA+Aa)=(2n-1)/(2n+1)=(23-1)/(23+1)=7/9。

F3基因型Aa的頻率=Aa/(AA+Aa)=2/(2n+1)=2/(23+1)=2/9。

F3基因A的頻率=A/(A+a)=2n/(2n+1)=23/(23+1)=8/9。

F3基因a的頻率=a/(A+a)=1/(2n+1)=1/(23+1)=1/9。

2 哈迪—溫伯格遺傳平衡定律與數學知識的整合

2.1 例題2 在非洲人群中，設10000個人中有4個人患囊性纖維原癌，該病為常染色體遺傳。一對健康夫婦生有一患病的孩子，此后，該婦女與另一健康男子再婚。則他們的孩子患此病的概率是多少？

2.2 解析 依題意，囊性纖維原癌的遺傳遵循基因的分離定律，且為常染色體隱性遺傳。令囊性纖維原癌由基因B、b控制，由“一對健康夫婦生有一患病的孩子”可知，該婦女基因型一定為雜合體(Bb)。

2.2.1 方法一——利用“哈迪—溫伯格遺傳平衡定律”求解 根據“哈迪—溫伯格遺傳平衡定律”，求人群中表現正常個體是雜合體(Bb)的概率。

由(p+q)2=p2+2pq+q2(且p+q=1)，可得： q2=4/10000=1/2500?q=p=1/50。還可得： p=1-q=B=1-(1/50)=49/50；2pq=Bb=2×(1/50)×(49/50)=98/2500。

所以，在正常個體中，雜合體(Bb)的概率為： Bb/(BB+Bb)=2pq/(p2+2pq)=(98/2500)/[(49/50)2+(98/2500)≈1/25。該婦女與另一健康男子再婚，則他們的孩子患此病的概率是： Bb×(1/25)Bb→(1/4)×[(1/25)×1]bb=1/200bb。

2.2.2 方法二——利用“數學推理法”求解 在非洲人群中若每10000個人中有4個人患囊性纖維原癌，令正常人為雜合的機率為“

χ”，則有：

χ Bb×

χ Bb→(1/4)

χ2bb?(1/4)

χ2=4/10000?

χ=1/25。

該婦女與另一健康男子再婚，則他們的孩子患此病的概率是： Bb×(1/25)Bb→(1/4)×[(1/25)×1]bb=1/200bb。

2.3 拓展運用 人體排泄具有強烈氣味的甲烷硫醇的生理現象是受其隱性基因m控制的，正常現象是受其顯性等位基因M控制的。如果在某地人群中m的頻率為0.4，試問，在一對雙親表型正常且有3個孩子的家中，有2個正常男孩和1個患病女孩的概率是多少？

解： 根據“哈迪—溫伯格遺傳平衡定律”，依題意： q=m=0.4, p=M=1-m=0.6。則： ①攜帶者(Mm)的概率： Mm=2pq=0.48；②攜帶者(Mm)占正常個體的概率： Mm/(MM+Mm)=2pq/(p2+2pq)=0.48/(0.62+0.48)=4/7；③由于當表型正常的雙親的基因組成為Mm時(即雙親為4/7×4/7)，后代才可能有患病者出現。所以，一對表型正常的雙親，生出2個正常男孩和1個患病女孩的概率為： [(1/2)×(3/4)M ]×[(1/2)×(3/4)M ]×[(1/2)×(1/4)mm]×3×(4/7)×(4/7)≈1.7%。

3 遺傳概率的計算與數學知識的整合

3.1 例題3 一個正常男孩體細胞中的染色體，來自其祖父的染色體有多少條？

3.2 解析 男孩祖父體細胞中的46條染色體傳給男孩父親的染色體為22條常染色體+1條Y性染色體，父親的染色體傳給男孩時Y性染色體一定傳遞。設那22條常染色體隨機傳遞給男孩的有

χ條，即： 祖父46條→父親(22+Y)條→男孩(

χ+Y)條。

二項式定理展開式的特點： 距兩端等距離的二項式系數相等，當n為偶數時，中間一項(即第n/2項)的二項式系數最大。因此，當

χ=(n/2)=(22/2)=11時，概率最大，則

χ+Y=11+Y=12(條)。所以，正常男孩體細胞中的46條染色體來自其祖父的染色體為12條時可能性最大。

3.3 拓展運用 一個正常女孩體細胞中的染色體，來自其祖父的染色體有多少條？

解： 女孩的祖父體細胞中的46條染色體傳給女孩父親的染色體為22條常染色體+1條Y性染色體，父親不能傳遞Y性染色體給女孩。設那22條常染色體隨機傳遞給女孩的有

χ條，即： 祖父46條→父親(22+Y)條→女孩(

χ+0)條。

同上，根據高中數學中二項式定理展開式的通項公式和二項式定理展開式的特點，當

χ=(n/2)=(22/2)=11時，概率最大，則

χ+0=11+0=11(條)。所以，正常女孩體細胞中的46條染色體來自其祖父的染色體為11條時可能性最大。

(基金項目：重慶市普通高中教育教學改革研究課題，No.2015cqjwgz3071)