芻議一題多法對數學教學的重要意義

尚瓊　常朝偉

摘要：數學是思維的體操，計算能力、邏輯思維能力、空間想象能力是學科要求的三大能力，其中邏輯思維能力是整個能力要求的核心，而一題多法就是培養學生邏輯思維能力的一種有效方式。通過對解題過程中的各種解法進行分析，學生不僅可以強化問題相關知識點之間的聯系，還可以從中尋找到最佳的解題方法，從而總結出解決同類問題的一般性規律。

關鍵詞：一題多法；邏輯思維；數學思想；數學方法

所謂一題多法，主要是指在解題時，教師引導學生從一個問題出發，根據所給條件，發掘題目中的隱含條件，突破固有的解題思路和思維定勢，去尋找不同的解題方法，通過縱橫發散，使知識串聯、綜合溝通，從而達到融會貫通、舉一反三的目的。一題多法在數學教學中有著獨有的功能，概述如下：

一、深化知識理解

不同的解法從不同的側面去重溫這些知識，檢查自己對概念、定理的理解是否準確，更容易發現知識內部蘊含的規律，從而進一步加深對基礎知識和基本技能的理解和掌握。

例1.如圖，已知AB∥ED，求∠B+∠C+∠D的度數。

解法一：∠B+∠C+∠D=∠B+∠1+∠2+∠D=360°

解法二：∠B+∠C+∠D=∠1+∠2+∠C+∠3+∠4=（∠1+∠4）+（ ∠2+∠C+∠3）=180°+180°=360°

解法三：∠B+∠C+∠D=∠1+∠2+∠C+∠D=∠3+∠2+∠C+∠D=360°

解法四：∠B+∠C+∠D=（∠1+∠2+∠B+∠C+∠D）-（∠1+∠2）=540°-180°=360°

解法五：∠B+∠C+∠D=∠1+∠C+∠2=360°

解法不止以上這些，但各種解法所指出的解題規律卻是一致的：已知兩直線平行，則用平行線性質定理解題；如果已經有平行線定理的形狀“≠”，直接用性質解題即可；如果沒有定理的形狀，就造一個解題，怎么造都行。經過多解的訓練，學生對平行線性質定理的認識更加深刻，對平行線知識相關習題的解答更加熟練。

二、增強方法掌握

數學是一門工具性很強的學科，掌握正確有效的解題方法和解題技巧，不僅可以幫助學生培良好的數學素養，也是提升學生數學解題效率的關鍵，一題多解更能真切的凸顯解題方法的差異。

例2.已知a、b滿足ab=1，那么 + =______________。

解法一：將a= 代入所求式子得 + = + = + =1

解法二：將1=ab代入所求式子得 + = + = + =1

解法三：通分得 + = = = =1

解法四： + = + = + =1

以上解法包含了代入消元法、“1”的代換法、整體代換法、湊整代換法，完整的展示了求值問題的常見切入方法，即從條件出發、從所求出發、字母代換數字、數字代換字母，與數學證明中的分析法、綜合法、兩頭湊法有異曲同工之妙。

三、滲透數學思想

學生領悟了數學思想便可更好的促進基礎知識的內化，更有利于原理和態度的遷移。不同的解法采用了不同的思維方式，數學思想便逐步滲透。

例3.如圖，正方形ABCG的邊長為a，在邊BC延長線上找一點D，作正方形CDEF，連接BE、EG、GB，則△BEG的面積為___________。

解法一：（方程思想）

分析：要計算面積，首先想到三角形的面積公式，底和高均與正方形CDEF的邊長有關，本題中條件不足，于是考慮主動創設條件，可設正方形CDEF邊長為x。又考慮到不論選哪一條邊為底，相應的高利用初中所學知識都很難求出，最終采用割補法。

解答：設正方形CDEF邊長為x，則

S△BEG=S正方形ABCG+S正方形CDEF-S△ABG-S△BDE-S△EFG=a?+x?- a?- x（x+a）- x（x-a）= a?

解法二：（化歸思想）

分析：題中背景圖形為正方形，正方形有其特殊之處，即對角線和邊的夾角為45°。題干條件不足，直接計算比較復雜，因此考慮將陰影三角形進行等面積轉化，往條件明確的正方形ABCG中轉移。

解答：連接CE，由已知得，BG∥CE，則S△BGE=S△BGC= a?（同底等高）

解法三：（特殊化思想）

分析：本題中正方形CDEF的邊長未給出，因此可以大膽猜想：正方形CDEF的邊長對于陰影三角形面積的求解無任何影響。換言之，正方形CDEF不論邊長取何值，陰影三角形的面積一定是確定的且唯一的。遇到有類似題意的題目，不妨考慮特殊化策略，尤其是針對選填題。

解答：不妨假設正方形CDEF的邊長為a，則S△BEG=S△BEF= a?

通過解答中運用的3種方法，學生不僅對面積問題的解答方法有了一個總的歸納，而且還訓練了數學的解題方法，滲透了數學的解題思想，達到最大化訓練解題思維的目的。

老師在教學中，首先應注重常規方法的講授，做好正常的雙基教學，讓學生掌握了一種基本的方法之后，適當引導學生尋求其他巧解。“一題多解”不但能讓學生達到解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛。學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，解題思維模式解放了，解題方法也應多種多樣，這樣才能使得枯燥的數學解題變得更加具有吸引性，更加具有趣味性。

參考文獻：

[1]王千. 如何認識一題多解的教育功能[J]. 數學通報， 2004（9）：10-12

[2]徐存新，武瑞雪. 例談一題多變與一題多法的解題教學——消除“懂而不會”現象的兩種有效教學方法[J]. 中學數學研究，2017，（02）：10-12