音樂幾何

馬慧元

一

YouTube上有個名叫“音樂的幾何”的講座，一位叫比爾·衛斯理（Bill Wesley）的彪悍鬈發大叔跟大家分享他自己發明的鍵盤樂器。這個后來定名叫Array Mbira的鍵盤，把琴鍵之間的排布重新設計，不再像傳統鍵盤那樣從低到高，而是把“和諧”的音放置得盡量近，也就是說，八度音程關系的若干音，一個手指就能彈出來（因為它們分布在一個鍵的垂直方向，手指“搓動”就可以演奏），然后五度音程的音相鄰，為了方便三度、六度等等音程，他設置了一些重復的鍵，這樣左右手都可以以小小的移動抵達音符。并且，小調在左手彈，大調在右手彈，這個簡單的設計也讓一切都變得更方便。這樣一來，彈琴的人即使碰錯音，也不會相去太遠；更重要的是，轉調變得極為容易，因為各個調的鍵盤看上去都是一樣的，不再有黑白鍵的視覺干擾。整個鍵盤很小，手指的小小移動就能解決大部分的和聲演奏，甚至能夠囊括比較復雜的轉調的作品，包括貝多芬著名的轉調，都可以清晰地表達出來。因為涉及自己的調律問題，這個綜合了幾何、算術和物理的設計并不簡單，當然它也不是橫空出世，二十世紀八十年代就有人申請了一種以五度相鄰構建鍵盤的專利（Wicki-Hayden）。這個呵呵憨笑的比爾大叔，在那個視頻里自豪地展示他的酷炫樂器。這些看上去只有若干小按鈕的鍵盤，演奏者只需手指輕輕撓撥按壓，當真能彈出管風琴那樣的效果—從動作表面看，倒真是一種“極簡主義”。在我知道的用手演奏的樂器里，恐怕沒有誰比他的動作更小。視頻是二○一一年的，至今還在，一伙人仍在演奏好玩的炫技音樂，樂器的小家族也在不斷擴充，已經包括豎琴了。

我不知道這種樂器會不會成為“主流”鍵盤樂器，能不能登上大雅之堂，至少它的思路很合我口味。我們所習慣的那種從左到右也就是從低到高的鍵盤排布，本來也出自一種隱喻—聲音頻率漸高，跟“更加靠右”有什么天然的聯系嗎？沒有。這都是人為的、歷史的。那么把一種隱喻換成另一種隱喻，有何不好？“越近越和諧”，比爾打的是“便利”的旗號，其野心可不止于此。他的樂器被一些名樂手使用，還參與了電影音樂，追隨者包括Sting那樣的名組，他希望有一天批量生產這種樂器，甚至能改變音樂世界。當然，各種以“和諧度”為距離構建的鍵盤，還是要面對一個“不和諧怎么搞”的問題。音樂中的不和諧本來是極為重要的部分。不錯，在八度、五度這樣的聲音里，人腦深感愉悅，但不會滿足于此。所以，在和諧和不和諧之間漫步，兼顧平衡與立體，是真正的難事，比爾他們也未必做到了。我慕名去聽了能找到的Array Mbira音樂，雖然極為可愛，確實深度有限—但這也可能是眾人還未習慣它，為它寫出多種音樂之故。

時至今日，網絡讓各種傳播都成為可能，我經常在YouTube上看見愛好者們設計的各種奇巧樂器，不少人既是音樂愛好者，也是科學愛好者、“思考愛好者”。其實，用“和諧度”這樣更有音樂意義的方式來設計鍵盤，本應是一種相當自然的思路。音樂中的情緒很鮮明，就算被文化加工得很嚴重，不少人還是有相當的共同感受，這樣一來，用標準化的方式來計量和生產音樂中的感情，就極有誘惑力，這種嘗試差不多跟音樂有著一樣長的歷史。古希臘的畢達哥拉斯發現了弦長與音高的關系，繼而從這些比例中看出“和諧”的要義，自此之后，作曲家、音樂理論家、數學家和物理學家們，不知想出多少種體系，想把音樂這種看不見摸不著的東西“繩之以法”。也因為它不能乖乖地摁在紙上，所以有許許多多角度去投射它。

十八世紀下半葉以降，歐洲的數學有了巨大的發展，音樂則處在一個多種風格涌動的局面，法國和意大利風格，古代風格和“現代”風格（比如法國理論家和作曲家拉莫）共存。這個時期， 熱愛音樂并從中獲得研究方向的數學家和科學家不止一位，比如瑞士數學巨匠歐拉。本來，音樂只是消遣，不過數學本能讓他在音樂中也開始思考數學。十幾歲的時候，他就發表了關于“聲音傳播”的論文，此后幾十年都經常回到對音樂的思考中。一七三○年（當時歐拉二十三歲），他的想法是“量化”音樂激發的感覺，也就是，通過分析聲音的數學和物理特質，計算出“音樂的悅耳度”。當時另一位瑞士數學家，歐拉的兒時好友伯努利對音樂也有興趣，但在跟歐拉的通信中，他表示這種快感是基礎性的東西，不可能量化，可是歐拉并不放棄。

當時，人們已經知道音程中的八度、五度、四度最令人愉悅，三度、六度算是不和諧，又因為音符有周期性（只有七個，然后重復），那么用數字來分析它應該是可行的。歐拉把任意的音程按比例標記出來，比如一個三和弦，用p ： q ： r（都是質數）來表示，然后創造出一個“和諧度”或者“悅耳度”（agreeableness，拉丁名gradus suavitatis）=p+q+r-2來記錄和弦或者音程的和諧程度。這個結果不僅能解釋許多（但并非全部）當時對聲音和諧程度的認識，而且它跟后代出現的聲波疊加的分析是大體一致的。乘積轉換成加法的對數工具并非歐拉所發明，但他是第一個用對數來計算音程的人。當然，受當時的文化影響，歐拉的許多想法讓今人覺得荒謬，比如把不和諧音程歸為“上帝不喜歡不完美數字”，把文化差異解釋為“野蠻人欣賞不了我們的音樂，因為他們理解不了我們的音樂中的深刻和諧”等等，這些認知，都在社會和文化的變革中被人摒棄了。而在這個探索音樂的過程中，歐拉收獲了很多數學思想和工具，比如自然對數（e正是以歐拉命名的）。感謝《音樂與現代科學》（Music and the Making of Modern Science， by Peter Pesic，MIT Press，2014）的作者，為我們指出著名的歐拉公式V+F-E=2（V、E和F分別是多面體中的點、邊和面的個數），和那個并不太成功的音樂公式p+q+r-2盡管應用于完全不同的領域，但有著奇妙的內在聯系。之后，歐拉的特性數，Χ=V+F-E中的Χ，也被稱為“度數”。

不出伯努利所料，歐拉的企圖用數字來表達“音樂的快樂和悲傷程度”的“音樂情感公式”最終留在他的早期論文里，只供科學史家來爬梳。漸漸地，歐拉在各種新音樂中漸漸擴大了自己對音樂“和諧度”的認識。三十年來，歐拉都沒忘記音樂對數學的啟發。

而時至今日，情感仍然是一種“算不清”的東西，當人們企圖去計算“快樂”和“悲傷”的數值的時候，這些情緒仍會不斷遁形，逃脫各種語言（包括數字）的追索。這是不是人類的宿命？大腦進化至今，仍然是“遠古大腦”，人的生理性仍然殘余無法被社會化的部分，科技也好語言也好，撞在肉身之墻上仍然喏喏退卻。語言和情緒的脫節，感性與理性的分離，生理基礎相對于社會巨變顯出的滯后，仍然源源不斷地生產這個人類社會里的各種好戲。扯遠了。

而從另一方面看，音樂難道不是太神奇了嗎？音階中七個音的循環外加一些已知的和聲關系，和諧與不和諧的人類感受，竟然給數學和物理打開了這樣的天地，追本溯源，這從畢達哥拉斯時代就開始了，比如那個深深困擾人類的，怎么也馴服不了的五度圈。音樂家為這個顧此失彼的調律問題煩惱，科學家幫不上大忙，反倒證明嘗試“完美”的調律是白費力氣，但人們在這個死角中認識了更深刻豐富的世界。

如今，歐拉的“音樂數學”成就已經被人梳理并出版成著作。而他最重要的音樂研究心得卻等了一百多年才在音樂理論家那里聽到微弱的回響?！兑魳沸吕碚摰膰L試》（Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae）里提出了一個“調性網絡”（Tonnetz）：從音程來說，F到C，C到G，G到D都是五度，C到下方A是三度，A到E也是五度。這樣一來，十二個音都有了位置，它們不再是一維的性狀，而展現了平面關系—不知讀者是否像我一樣，覺得這個網絡跟歐拉著名的七橋圖也有幾分神似—這些音符也不能遍歷（注：圖中字母右邊的小s表示升號）。

注意，歐拉在這里是忽略各個音符的具體音高的，也就是說，某個C音跟高八度的C視為同一。這樣一來，音階的“扭曲”“黏合”就產生了。音階不再是直線式，它本身就有了平面結構。

不用說，這跟比爾大叔的鍵盤有著異曲同工之妙，鍵盤上琴鍵的距離可以是我們常見的，按聲音頻率大體均分的距離，也可以是體現聲音同構性的抽象距離。這一切，都來自音符的特性—循環性以及八度、五度、四度這些深植于生理感知和文化習慣的和諧音程。聲音的排列呈現網狀之后，音樂理論家們立刻感到音樂的進行可以用圖形來表示了。

二

數學家和物理學家則是從另一側面來想這個問題。著名物理學家亥姆霍茲的諸多成就里，包括聲學和神經傳導的成果。他追索聲音的物理規律還不滿意，還去鉆研人耳的結構，大約是想從“認知”那一端，探索音樂和感覺的奧秘。亥姆霍茲從音樂可以移調而聲音相對關系不變這一點出發，指出它的空間性：一個物體在空間中移動，也不會發生改變，這一點和音樂是一樣的。也就是說，因為物體在空間中可以移動，音樂中的音高由于有比例性，也就是說，兩個音如果距離五度，弦長比是3 ： 2，如果距離大三度，弦長比是5 ： 4，那么以此類推，只要保證相對關系不變，音樂就保持不變。那么，音樂一定和“物體運動”具有類似的特質。在這之后，亥姆霍茲持續思考空間問題，在黎曼空間、非歐幾何的啟示下，將空間、聲音、視覺、顏色這些有著誘人聯系的課題整理成《論幾何原理的起源和意義》（The Origin and Meaning of Geometrical Axioms，1878）等論文。對這些聯系的研究，也讓他成為少見的全才。

亥姆霍茲是十九世紀的德意志人，此時的文化空氣中，音樂興盛，哲學興盛，不少科學家都渴望將科學和音樂及藝術統一認識。不過科學幫助人們對聲音物理特質的理解迅速提升，音樂家卻似乎“聽不見”科學的聲音。音樂在科學面前沉默，倒是十八世紀的歐洲社會劇變，聽到了音樂的回答—“古典”的優雅范式消失了，太多的變化破冰而出，曾經對稱、收斂的音樂世界再無寧日。無論是莫扎特、貝多芬、舒伯特還是晚一些的肖邦、舒曼、柏遼茲、李斯特、瓦格納，他們的音樂語言受到文學、繪畫甚至政治的影響十分迅速并且可見。而到了十九世紀下半葉，數學和物理學明明把聲音的傳播特質都講清楚了，卻不見任何大作曲家因此又發現了一個“特里斯坦和弦”。教堂有改革，或者社會有風波的時候，在當時的音樂中引起的變化，遠大于揭露物理聲音奧秘的傅立葉變換所激發的變化。音樂學家羅森改編美國藝術家巴內特（Barnett Newman）的一句戲言：“音樂學于音樂學家，猶如鳥類學于鳥兒?！笨茖W更是如此。

這時的數學和物理，頂多就是對樂器制造和調律幫了些忙—還不一定是多么本質性的大忙，制琴者憑耳朵已經把調律試得差不多，能夠滿足精度有限、又受文化左右的人耳需求，基于無理數計算的“十二平均律”的鋼琴調律也就是增加了一種可能性而已。之前的巴赫，雖然被今人認為作曲風格“數學般精確嚴密”，他受的數學教育偏偏極為貧乏，他甚至沒怎么受當時啟蒙運動的影響，也沒有多少歷史證據表明，巴赫了解當時的科學成就。而所謂巴赫音樂的“數學性”，無非是“數字性”、對稱性和比例性而已，并未超出小范圍內自然數的計算。能在音樂性中兼顧數字，已經相當罕見（也并不孤立，巴托克等作曲家也喜歡讓音樂和數字“互文”），更何況它并不是音樂的主要目的。說到比例，有人可能會舉出“黃金分割”在藝術包括音樂中應用甚廣，這在某種程度上是事實，但不少流行的例子是錯誤或者夸大的，它其實沒那么神奇，此為另話。

這樣看來，雖然技術的進步讓音樂家們受益，又能通過改變音樂的傳播來影響音樂，但科學似乎再也沒能伸手直接觸及和推動音樂的寫作。直到二十世紀前，音樂家在其中只是科技成就中被影響的一份子，而不是主動采擷科學思想的人。

就像任何有歷史、有一定復雜度的兩種事物一樣，科學和音樂，在歷史上有一定的遇合，更多的時候還是兩條涇渭分明的河流。音樂曾經是數學的一個分支，而在歷史推進之中，音樂家和科學漸行漸遠，在我們所知的十八、十九世紀傳世音樂家里，幾乎無人擁有像樣的數學或科學訓練（例外是俄國人鮑羅丁，不過他的化學家生涯跟作曲事業似乎并無直接正向關聯）。科學的逐漸專門化，也令圈外人不能輕易涉足，歌德那樣的通才越來越少。

那么，如果“科學只能間接地影響音樂”是個真命題并且是個“問題”的話，它出在音樂家身上，還是音樂身上？原因肯定有很多。泛泛而言，古今中外的藝術家，往往不同程度地拒斥科學。這也是可以理解的，難道藝術不是承擔科學所“余”的部分嗎？此外，專門化的科學和專門化的音樂，注定無法在人腦中獲得精確的對應。科學方法、理性思維在任何成體系的分支里都有應用，音樂也不例外，但更抽象復雜的科學原理并不能激發更深刻的音樂。人腦雖能對音樂的“長度”“比例”有所感知，但不大可能精細到科學所抵達的程度；即便感知比例，往往也不是復雜的比例，比如兩個音的頻率比，但凡悅耳之聲往往分母較?。ɑ驹?0以內），而不大可能是113、199這樣的數字；那些直接依照技術原理或者數學模型的作曲，都不一定影響到音樂品質本身。

你也可以說這并不是問題。數學或物理，是以事物一般性為目標，那么從其他領域（音樂是其中之一）獲取結構上的啟發，并推廣出新法則，是完全可以想象的事情。而音樂針對的是人的耳朵、人的情感，受眾的感官功能是有限的，干嗎去操心宇宙法則呢？

只是二十世紀之后，科技對文化的顛覆更大，加上文化的碎片化，總會有藝術家攫取文化中的一面，據為己有。同時，美術中出現了立體主義、抽象派，時間和空間都成為思想的主題。音樂中的十二音、序列主義等等都有了數學元素，電子音樂則終于直接地應用上了技術。而對音樂家來說，科學仍然是可選項，不是必選項。二十世紀作曲大師斯特拉文斯基就說過：“我完全不懂‘聲音是怎么回事！”

三

特莫斯科（Dmitri Tymoczko）是普林斯頓大學的作曲教授和理論怪才，他為“空間理論”著迷，寫出的音樂論文《和弦中的幾何》據說是美國《科學》雜志有史以來發表的第一篇音樂論文。YouTube上，有若干他的講座，關于“音樂的幾何”“音樂的空間”“音樂的形狀”等等。他出生于一九六九年，緊隨“垮掉的一代”生長，父母是大學教授，又是“嬉皮”的成員，一家人住在嬉皮公社的大房子里，還種大麻。小時候，父親還因為上街抗議越戰而被捕。他在這樣的家庭中長大，既喜歡智識，又有一腦子反骨，當然還有對音樂的癡迷。他從小在鋼琴和電吉他上彈著搖滾，其間也學點貝多芬和巴赫，后來幸運地遇到一個老師，“把兩個世界捏合在一起”。那時候他數學很好，可是最終選擇了音樂—曾經也是那么特立獨行的父親，臨終時則要他許諾去耶魯讀法律而不是音樂，他答應了，心里卻有自己的小算盤。后來，因為種種原因特莫斯科想過放棄音樂，去哈佛讀了四年哲學，不成功，最終才回到音樂，認真思考自己的作曲之路。

話說學院里的嚴肅音樂，永遠在“如何讓大家接受”的問題上掙扎。特莫斯科戲言過“這些音樂作曲家都得花錢請人來聽”，“作曲家終生在大學里勉強糊口，看人臉色”。前輩告訴他作曲家“讓餐桌上有食物”是多么不容易，有些令人尊敬的前輩費盡心機幫人找教職，以求同仁們衣食有靠。另一方面，他又很驚訝音樂世界的壁壘，嚴肅，流行，電子，搖滾，音樂學院的老師跟外面完全不在一個世界中。

特莫斯科并不想解決音樂的接受問題，但他想去尋求音樂底層的奧秘，至少嘗試去表述它?！兑魳分械膸缀巍愤@本大著，是多年思考的一個總結，談的是和聲進行的“幾何表達法”，簡單地說，設計了一些幾何空間，連接其中一些點，形成矢量，看看它們最終形成什么模式，或者，按照傳統和聲原則在這些空間中旅行，看看能產生什么樣的音樂。在他的觀察下，格利高里圣詠和一首德彪西前奏曲甚至爵士樂手柯川的音樂顯示出驚人的聯系。上文說過，用空間來表述和聲進行，可以說古已有之（比如歐拉的和聲網），但現代音樂為它提供了更有意義和意思的材料，更何況群論、集合論、非歐幾何、拓撲學這些工具，為之提供了更精準的框架。

在他這里，音樂是實實在在地受一些幾何觀念指引，盡管這并不是多么復雜的幾何，并且和不少音樂理論書籍一樣，即便從數學出發，數學也隨音樂話題的深入漸漸隱形，取而代之的還是音樂實踐和音樂判斷。數學觀念最多僅僅是一個發端和靈感，一個隱喻的借口。即便如此，他的創造力和洞察力還是讓人嘆為觀止。比如第三章《和弦的幾何》中有這樣一幅十分經典的圖，任何讀到此書的人都不可錯過：

這是個三維空間內表達三和弦（由三個音組成的和弦，比如C-E-G）的圖示。我這個普通讀者，從他講二維（三和弦）的時候，就吭哧吭哧用紙來折莫比烏斯帶（因為兩個相鄰八度的同唱名音被視為相同，所以用莫比烏斯帶—只有一個表面和一條邊界的曲面表示。從某點出發，在同一表面上，不經過邊界，可以回到終點）去理解，之后又想象著一個棱鏡的兩端擰了120°對接上，而它的真正模型是只有一個邊界，螞蟻從某點出發會爬回原點的“甜麥圈”。邊界上的點是三個相同的音，表面的點是三個音中有兩個相同的音。前面這個棱柱圖是把甜麥圈掰開重建后的視圖，不夠直觀，不過能顯示甜麥圈內部的音。之所以這樣扭曲，是基于“不同八度內的同唱名音視為相同”的假設。音階在空間之中能夠翻轉、重疊，恰恰表明為何音樂有無窮可能，卻又極為簡單。音樂可以漫長、復雜，有曲折的路途，而換一個濾鏡去看，比如“和聲的距離”，音樂可能極為精煉，一劍封喉。

他寫了這本巨著來描述幾何模型下的和聲進行和對位，自己的作品則踐行其理念。讓人服氣的是，他在經典曲庫的數據中挑出一些杰作，來證明有些作曲家在和聲進行方面，果真遵循一定的對稱原則，符合他的理論，最著名的例子是肖邦《e小調前奏曲》（Op. 28之四），盡管作曲家是無意識的，盡管他挑選的方式是觀念先行的。書中的圖示較為繁瑣難懂，有人簡化成下圖：

左下角是曲子中間的一個和弦，大圓點表示當前的和聲，中間一簇圓點表示和弦在空間中的位置。而且，這是一個四維空間的投影。如果讀者能看到動圖，那真是一場音樂的“星際旅行”。

因為和聲進行在他這里用點、線來表示其路徑，那么他常?？梢灾赋?，某兩首作品聽上去如此不同，但它們的路徑形狀相似。這種奇妙的聯系讓我十分著迷。他認為好聽的音樂應該是具有某些幾何特質的。不過，在頭腦中建立這種聯系確實需要漫長的訓練，何況特莫斯科對聲音的辨別有一個前提：音階上的音不管八度，只在乎唱名，但一般人的耳朵和大腦并不容易忽視音區。特莫斯科自己或可在腦中建立和弦的幾何關系跟音樂的聯系，據說數學家歐拉也可以。不過我自己嘗試過，至今徒勞。假如，相當多的作曲家接受了這一點，并且將這種“空間聽覺”內化成音樂能力，是不是我們的音樂會因此不同？那么所謂音樂如同建筑云云，也真有了另一層極為貼切的意思，甚至可能帶來哲學意味的顛覆。自從讀了特莫斯科，我雖然不能直接從音樂中“聽”出空間，但面對譜面我會多一些想法，知道音樂的“本質”還有另一重認知可能，音樂是一場運動，一段旅行，但起點和終點，根本不是你以為的那樣。

四百多頁的巨著，涵蓋太多“干貨”，野心也驚人。作者能在各個門派的前輩杰作中獲得印證，尤其是在古典和爵士中都能找到這樣的統一性，恐怕有種喜大普奔的興奮。他也承認并不是想把這些和聲遷移路線當作作曲秘笈來推銷，而只是對一些好的作曲想法給出預測，看是不是會走到死胡同。他還做了個能模仿理論的軟件，用鼠標隨意選擇一些音，它就能顯示出和聲路徑，一切都機械而確定。

我好奇地在互聯網上小小研究了一下，原來在空間中用點、線、面來構造和聲進行，使音階翻轉、黏合，把線性的音階編織成網絡，也并非前無古人，五花八門的模型一百年來已經有了不少，比如里曼理論、新里曼理論等等?！奥曇舻木嚯x”成為實實在在的，可測量的數值，只是它們看上去還是小眾的游戲，至于對群論、集合論的應用，跟真正的數學研究比起來，仍然仿佛過家家，與其說是應用，倒不如說仍然是一種概念性的隱喻。但是，在人工智能擁有無限可能的今天，誰說這些隱秘的聯系不能帶來真正的改變，甚至人的情緒也能整出傅立葉變換了？既然人臉識別都能搞出來，誰說歐拉企圖算出“音樂悅耳度”的理想不能實現？

對那一天，我既盼望又略感恐懼。或許我會更留戀人類的浪漫時代，他們天真地以為藝術是可以抵抗科學的，藝術就是抵抗科學的。也有可能，當AI幾乎取代一切的時候，科學和藝術又再次漸行漸遠，因為到了那個時刻，人生還是會劇變的。人腦的進化仍然在吭哧吭哧地緩慢爬行，但人的心智已經不是這個世界上最強悍的聲音了。

參考文獻：

1. http：//sonograma.org/2017/01/conversation-dmitri-Tymoczko -part1/；

2. https：//www.youtube.com/watch？v=SU2JztST_TY&t;=1306s （Bill Wesley）；

3. http：//dmitri.mycpanel.princeton.edu/chordspace.html ；

4. http：//content.time.com/time/magazine/article/0，9171，1582330，00.html；

5. http：//www.openculture.com/2018/01/western-music-moves-in-three-and-even-four-dimensional-spaces-how-the-pioneering-research-of-princeton-theorist-dmitri-tymoczko-helps-us-visualize-music-in-radical-new-ways.html；

6. A Geometry of Music Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice， by Dmitri Tymoczko， Oxford University Press， 2011；

7. Music and the Making of Modern Science， by Peter Pesic， MIT Press， 2014；

8. Music by the Numbers From Pythagoras to Schoenberg， by Eli Maor， Princeton University Press， 2018.