函數教學中分類的必要性
——以二次函數為例

福建省南安南安華僑中學 王振陽

眾所周知，分類討論是一種初級的數學思想，其和數形結合思想、轉化劃歸思想等一起在中學數學教學中占據著重要的地位。分類討論思想的教學，一直可以追溯到小學數學中的整數分為奇數和偶數開始，在高中數學的學習中也起著重要的作用。

比如：設函數f(x)=x2+ax+1(a∈R)，函數f(x)在[-1,1]的值域是[m,n]，求函數h(a)=n-m的表達式。在論壇中，筆者看到學生這樣描述：知道要分類討論做，但是總是分不清楚，誰教教我有沒有訣竅？這里體現了學生對于分類討論思想較為模糊的概念，下文筆者層層遞進地闡述分類討論思想在解題中的運用，引導學生做好為什么分？怎么分？使學生對分類討論思想獲得一定的思想認識，為后續運用好分類討論奠定基礎。

一、含參最值分類的必要性

帶有參數字母的函數f(x)是高中函數教學中的難點內容，初學者，特別是高一學生往往對其為什么要分類沒有認知，沒有思考。舉一個例子：

問題1：（1）求函數f(x)=x2在區間[-1,1]上的最小值；（2）求f(x)=x2-2ax+a(a∈R)函數在區間[-1,1]上的最小值。

分析：筆者對初學者解決這類問題很好奇的一點是，學生對這兩個問題的解答是一樣的，即最小值在對稱軸處最小。詢問學生為什么，學生的回答簡單明了：因為開口向上的拋物線在對稱軸處取最小值！可見其對含參的二次函數的認知是缺乏了解的。以（2）為例，初學者認為當x=a時，f(x)min=f(a)=a-a2是常態，這是典型的缺乏動態思考以及沒有關注函數區間的結果，這也說明學生對于含參問題需要分類思考的想法其實并沒有。利用幾何畫板（如圖），請學生動態觀察函數的變化，思考在區間[-1,1]上，很明顯產生的最小值是有多種可能性的，這就是在解決二次函數含參最值時必須介入分類討論的原因。

提示：含參的二次函數最值是初學者較為常見的問題，通過問題1，我們不難發現，對于含參二次函數為什么要引入分類討論才能求解最值：二次函數f(x)=ax2-bx+c(a＞0)在閉區間[m,n]上的最小值來進行合理的分類討論；若將問題演變為最大值，則顯然是以對稱變為最值求解，則將前兩種問題結合在一起，以對稱軸類進行討論，這是對二次函數的最值為何需要討論的因素。

二、基于系數討論的必要性

二次函數f(x)=ax2-bx+c(a≠0)有三個參數，一般而言往往對三個參數的一個或某幾個進行合理討論，這必須對字母本身的含義有清楚認識：首個參數a關系到二次函數圖象的張口大小，第二個參數b關系到二次函數的左右移動，最后一個字母參數c主要涉及二次函數的上下移動。根據具體情形，往往對二次函數系數的討論成為學習的關鍵，分類的主要切入口有時候還可以利用二次函數與橫軸的交點個數，需要依據具體問題情況而論。

問題2：已知函數f(x)=plnx+(p-1)x2+1，當p＞0時，討論函數f(x)的單調性。

提示：本題及其變式非常好地闡述了怎么對二次函數中不同字母出現的可能性進行分類，自然主要思考的是張口、對稱軸和交點，一般而言，掌握了字母的意義，也就知道了為什么要分類、為什么這么分類，對學習含參二次函數是有意義的。

總之，分類討論思想是必備的高中數學思想方法，也是解決常態化問題的主要思想工具，二次函數又是最重要的一種基本初等函數，因此對其的含參問題進行討論和思辨是學習的重要方向，理解這里的分類的必要性，為更為復雜的函數討論奠定基礎。