第二型曲面積分的中值定理

廣西民族大學理學院 張曉呵

積分中值定理體系龐大，但仍然有大量數學學者在研究，在華東師范版和劉玉璉的數學分析中給出了積分中值定理和積分第二中值定理的定義和證明后，對于其在曲線和曲面上的形式并未明確，目前主要在連續型曲面上提出了相關假設。我們知道第二型曲面積分的不等式性質一般不成立，所以一般情況下,第二型曲面積分的中值定理亦不再成立，欲使其成立，那么對曲面的要求將更加嚴格，本文便給出了這樣的曲面，同時將中值定理的“連續性”弱化為“介值性”和“可積性”,并在其上定義和證明了第二型曲面積分的中值定理。

一、定義和定理

欲使第二型曲面積分的中值定理成立，那么對曲面的要求將更加嚴格，以下我們將對這類曲面進行討論。

1．法線單向曲面

定義2.11 設有光滑曲面C，任意包含于曲面C的小曲面Ci的法向量與z軸所呈夾角為θ。我們稱曲面C為法線單向曲面，如果cosθ不變號,顯然,法線單向曲面有以下性質：

性質2.11 設曲面C為法線單向曲面，f為定義在C上的函數，且f(x,y,z)≥0，(x,y,z)∈C，若f在C上第二型可積，則有：

性質2.12 設曲面C為法線單向曲面，f與g為定義C在上的函數，且f與g在C上第二型可積，若f(x,y,z)≤g(x,y,z)，(x,y,z)∈C，則有：

性質2.13 設曲面C為法線單向曲面，f為定義在C上的函數，且第二型可積，

（1）當cosθ≥0時，曲面C至少存在一個小曲面塊Ci，有f(x,y,z)＞ 0，(x,y,z)∈ Ci；

（2）當cosθ≤0時，曲面C至少存在一個小曲面塊Ci，有f(x,y,z)＜ 0，(x,y,z)∈ Ci。

證明：只證當cosθ≥0時的情形，當cosθ≤0時的情形可類似證明。

假設任意包含于曲面C的小曲面塊Ci上均為f(x,y,z)≤0，由性可得），顯然與條件矛盾。

2．介值性定理

我們先給出定義，在曲面上的函數的介值性的定義。

定義2.21 設f(x,y,z)是定義在曲面C上的函數，記：

我們稱f在C上是可介值的，如果任意的實數α:m＜α＜M，在曲面上至少存在一點 ，使得：

事實上，函數的介值性是弱于連續性的，若f在C上是連續的，則f在C上可介值的，反之卻不一定成立。

3．曲面積分的相關性質

性質2.31 若曲面C由小曲面塊C1,C2…Ck接連而成，且

證明見參考文獻[1]第二型曲面積分的性質。

性質2.32（有界性） 設曲面C為法線單向曲面，f為定義在C上的函數，若f在C上第二型可積，則f(x,y,z)在C必定有界，其中C取上側。

證明：用反證法。若f在C上無界，則對于C上的任意分割T，必存在屬于T的某個小曲面塊Ck，f在Ck上無界，在i≠k的各個小曲面塊Ci上任意取定 ，并記：

現對任意大的正數M，由于f在Ck上無界，故存在 ，使得：

由此可見，對于無論多么小的 ，按照上述方法選取點集時，總能使積分和的絕對值大于任何預先給定的正數，這與函數f(x,y,z)在曲面C第二型可積矛盾。

二、主要結果

定義3.1 設C是法線單向曲面，f，g為定義在C上的函數，且滿足如下條件：

（1）f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面C上第二型可積；

（2）f(x,y,z)是可介值的；

（3）g(x,y,z)在c上不變號；

則至少存在一點 使得：

其中C取上側。由條件3），不妨設g(x,y,z)≥0，(x,y,z)∈C，這時有：

由此我們便得出法線單向曲面上的第二型曲面積分中值定理。