認清部分，把控全局
——對一道期末試題的深度透析

江蘇省海門市能仁中學(xué) 花永平

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》中規(guī)定，“圖形與幾何”的主要內(nèi)容有： 空間和平面基本圖形的認識；圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標(biāo)描述圖形的位置和運動。

由于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》中的內(nèi)容是涵蓋義務(wù)教育三個學(xué)段，而初中階段正處于學(xué)生的圖形感發(fā)生、發(fā)展、形成、完善的階段，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的認識轉(zhuǎn)化能力，更能夠發(fā)展學(xué)生的合情推理、有效思維和邏輯推理能力。作為教育人，培養(yǎng)孩子的“三基”固然是非常重要，而關(guān)注孩子的辨析、識圖、推理等能力的發(fā)展更應(yīng)該成為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的又一個重要部分，進而發(fā)展學(xué)生的個性和能力。

一、例題展示（摘自某市初三數(shù)學(xué)期末試卷27題，本小題滿分12分）

如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點E是邊CD上一點且EC=1，F(xiàn)是AD的中點，對角線AC交BE于N點，P是線段BE上的一個動點，連接EF。

（1）求CN的長；

（2）求PF長的最小值；

（3）當(dāng)∠PFE=45°時，PF與AC相交于G點，求AG的長。

圖1

二、試題分析

對于該題的第三問，很多考生在考試過程中下不了手，無法可循，圖形雜亂，線條復(fù)雜，無法突破解題的基本路徑，故很多考生就乖乖放棄了。如何在這類問題的解答中幫助學(xué)生理清思路，找出解題的辦法呢？那我們只有從部分圖形的特征下手，從而把握問題的全局，真正找到試題的突破口。

三、方法評析

方法四：如圖5，由45°,立馬想到構(gòu)建等腰直角三角形FEQ，

圖5

“K字結(jié)構(gòu)”在解題過程中往往有全等和相似呈現(xiàn)，故學(xué)生容易積累基本的解題方法，導(dǎo)出全等關(guān)系和相似關(guān)系。

3．“建構(gòu)坐標(biāo)”見形數(shù)

方法五：如圖6，以點B為坐標(biāo)原點，BC邊為x軸，BA邊為y軸，將正方形放在第一象限內(nèi)建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系，易求直線EF為

圖6

將直線EF繞點F，按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得：直線FG：y=5x-6（提示：先將直線EF繞點F，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，再構(gòu)建直角的角平分線即可）。

形與數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的兩大重要抓手，教會學(xué)生要牢牢抓住，只有從多角度、多層面思考問題，學(xué)生的思維才得到鍛煉，能力才得以提升，最終才能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生的應(yīng)試能力。

四、試題延伸

延伸一：將題干中的“P是線段BE上的一個動點”改為“P是直線BE上的一個動點”，其余條件不變，我們學(xué)生對第三問又有哪些思考呢？

評析：分類討論思想可以進行有效滲透：（1）∠PFE在EF的

圖8

圖7左側(cè)（如圖7）；（2）∠PFE在EF的右側(cè)（如圖8）。

延伸二：將第三問中的“當(dāng)∠PFE=45°時”改成“當(dāng)∠FPE=45°時”，其余條件不變。

評析：該題改編后發(fā)現(xiàn)的一個重要問題是“雙定問題”，即EF長不變，EF邊所對的角為45°，同學(xué)們很顯然與圓可以進行有效的融合。（見圖9）

圖9

以EF為斜邊在形內(nèi)作等腰直角三角形OEF，再以點O為圓心，OE為半徑作圓，與BE的交點即為點P，從而用上述方法給予作答。

延伸三：學(xué)生可以根據(jù)該題的背景，自主地與圖形的邊、角、形等元素去關(guān)聯(lián)，從而進行有效解答。

總之，幾何圖形是學(xué)生思維活動的出發(fā)點和歸宿點，教學(xué)中只有真正把握圖形的主體，認清圖形的結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和解題方法，才能快速提高學(xué)生的答題技能和應(yīng)試技巧，更有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和發(fā)展。