例談巧用數形結合法解函數不等式

陳雪梅

摘 要 函數不等式問題既作為高中數學的一項重要內容，又是歷年來高考重點考查的對象。本文主要針對具備何種特征何種類型的不等式適合用數形結合的方法去求解進行探討，并強調我們不要盲目地為了使用數形結合的方法而數形結合，使問題更加復雜化。

關鍵詞 數形結合法 函數不等式 不等式特征

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

1解題研究

隨著教育的不斷改革，國家越來越注重思維與創新的能力。不等式作為歷年考查的重點對象，尤其是函數不等式的問題，常用的有以下幾種方法：（1）函數性質法；（2）分離參數法；（3）主參換位法；（4）數形結合法。對于一部分具有明顯幾何意義的不等式，根據結構，采用數形結合的方法進行求解，事半功倍。筆者就以下幾種題型為例，給出以下解題分析。

1.1高次不等式求解集的類型

對于高次不等式（分式不等式）求解集的問題，將其整理為標準形式后，利用“數軸標根法”，清晰直觀，但要注意特殊點的取舍。

例1：不等式的解集為 .

解析：如上圖所示，在數軸上標出相應的根，原不等式等價于，且易知答案為或。對于這種易于在數軸上標出根求解集的問題，用數形結合的方法快捷明了。

1.2可將不等式轉換為相關幾何軌跡方程的類型

對于一些構造較復雜直接求解比較繁瑣的不等式，將其不等式進行轉化，定‘性定“量”的做出圖形，有效簡化解題過程。

例2：解不等式.

解析：

令，則可將其化為曲線

的形式，即不等式的解對應于曲線在直線上方的部分，如圖所示：

由求得，原不等式的解集為.

1.3含參不等式類型題的求解

對于含參數的不等式，由于參數的存在，“不確定性”與“復雜性”并存。如果僅從“數”的角度考慮分析更復雜，然而用數形結合的方法，則思路不等式轉化為（或），然后通過分析圖像的上下位置關系來求解。

例3：若時，不等式恒成立，則的取值范圍為 .

解：令，

，

若，兩函數圖象如圖所示，即當時，要使，只需

，即，

∴當時，不等式恒成立。

若時，兩函數圖象如下圖所示，顯然當時，不等不恒成立。因此，的取值范圍為.

2采用數形結合法解題要注意的問題

數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，從而使問題簡單明了化難為易，快速的審清題意解出問題。

筆者認為，數形結合法雖好，但需要注意一些問題，比如，作圖要精確，避免了草作圖導出錯誤結論。此外，在求解不等式時，轉化過程要等價，避免定義域擴大或縮小；分情況討論時，要注意圖形的存在合理性，不可“無中生有”；利用數形結合解題時，尤其在證明某個問題時，要避免語言贅余。因此，如果數形結合法使用不當時，使得本就不復雜的問題繁瑣化，便背離了數形結合的實質意義。

3教學啟示

數形結合法在解題的方法中起到舉足輕重的作用，是非常實用而又重要的方法，其應用性強。使抽象思維與形象思維結合起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到優化解決問題途徑的目的。對于函數不等式，在選擇題和填空題中有許多題目可快速用數形結合的方法進行求解，而對于大題當中的不等式問題，運用數形結合的方法可更加清晰的分析題意理清其解題思路。

運用數形結合的思想方法，再根據本文中所提到的有關函數不等式類型的幾點特征，要做到：由“數”聯想到“形”。此外，要注重把握數形結合的實質，不要單純為了使用數形結合的方法而強行構造圖形使問題復雜化。

然而，正因為它的直觀、形象、簡潔而漸漸地使學生認為它是“萬能”的，常常會誘入歧途，模棱兩可，甚至會有以點代面的現象。因此我們在用數形結合法時，要揚長避短，要全面合理分析，直觀的同時，輔有嚴謹的演譯。

參考文獻

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