多視角思考一道線性規劃試題

廣東 鄭榮坤

一、試題的解法

學生在求解該試題的過程中，暴露出線性規劃的相關知識比較薄弱，如何讓學生全面地掌握線性規劃問題？筆者嘗試從多個視角思考這道線性規劃試題.

二、從約束條件的視角

1.“變”出區域面積

解析：畫出約束條件表示的平面區域如圖所示，

計算出交點A(3,3)，B(0,2)，C(1,0).

直線BC的方程為2x+y-2=0，

2.“變”出區域內整數點個數

解法1：畫出約束條件所表示的平面區域如圖所示，在平面區域中畫網格線，由圖可見，平面區域內有5個整數點.

解法2：畫出約束條件表示的平面區域如圖(變式1圖)所示，計算出交點A(3,3)，B(0,2)，C(1,0)，則0≤x≤3,x∈Z.

當x=0時，y=2，此時整數點個數為1；

綜上所述，平面區域內有5個整數點.

【點評】從約束條件考慮，考查二元一次不等式組主要有：求不等式組所表示區域的面積，求不等式組所表示的區域內整數點個數.求平面區域面積方法：畫出區域，求出交點坐標，直接計算出平面圖形的面積.這個考點比較簡單，學生也掌握得較好.而求平面區域內整數點個數，雖然解法有兩種，但解法1學生很難操作，而解法2大部分學生沒有接觸過，因此，教師重點介紹解法2，由于解法2避免了畫圖操作難的問題，因此非常受學生歡迎.

三、從目標函數的視角

1.“變”出線性最值

解析：畫出約束條件表示的平面區域如圖所示，

計算出交點A(3,3)，B(0,2)，C(1,0).目標函數z=x+2y在點A(3,3)處取得最大值，在點C(1,0)處取得最小值，所以zmax=3+2×3=9，zmin=1+2×0=1，故z=x+2y的取值范圍為[1,9].

2.“變”出斜率型最值

3.“變”出兩點距離型最值

【點評】從目標函數考慮，自然考慮將其變為：線性最值、斜率型最值、距離型最值，因為這三種為最基本的類型.由于學生接觸得多，學生自然做得較好.但學生在求解距離型最值時，仍然有許多學生錯誤認為在B(0,2)處取得最小值，所以教師要強調，不一定在交點處取得最值，可能在邊界線上取得最值，要認真分析.

四、從含參數的視角

1.“變”出參數求值

2.“變”出參數求取值范圍

3.“變”出最優解非唯一

【點評】從目標函數考慮，自然考慮將其變為：參數求值、參數求取值范圍、最優解非唯一，因為它們是含參數問題的基本類型.不管參數在線性約束條件還是在目標函數，關鍵抓不變量，尋找參數幾何意義.最優解非唯一就是目標函數取得最值的最優解有無數多個，說明目標函數對應的平行直線與可行域內的一邊所在直線平行.

五、從知識交匯的視角

1.“變”出與命題交匯

( )

A.p∧q_____________________B.p∨q

2.“變”出與條件交匯

( )

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：如圖所示，條件p所表示的平面區域Ω為以E(1,1)為圓心，3為半徑的圓周及其內部，條件q所表示的平面區域Ω1為△ABC邊界及其內部.由于區域Ω包含區域Ω1，則p是q必要不充分條件，故選B.

3.“變”出與不等式交匯

4．“變”出與三角函數交匯

5.“變”出與概率交匯

6.“變”出與向量交匯

7.“變”出與解析幾何交匯

【點評】雖然線性規劃并非高中數學的主干知識，卻備受命題者的青睞，以靈活多變的形式頻頻出現，命題新、立意高，以簡單線性規劃知識為載體，與其他知識的交匯，從而使學生對線性規劃應接不暇.所以從知識交匯而變式，拓展學生綜合能力是非常必要的.

六、從應用的視角

1.“變”出應用于數列

變式16：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn.若4a1≤a3+3，a4≤2a1+6，S2≥2，則數列 {an}的前4項和S4的最大值為_______.

解析：該題可用線性規劃來求解，

如圖所示，S4在點A(3,3)處取得最大值，

即當a1=d=3時，(S4)max=4×3+6×3=30.

2.“變”出應用于方程實根分布

3.“變”出應用于函數

【點評】線性規劃實質上是采用幾何的方法求解代數中二元條件最值，只要二元條件最值中，約束條件為二元一次不等式組，就可以應用線性規劃思想去求解.