“超級全能生”2018高考全國卷26省12月聯考乙卷數學(理科)

一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.設集合A={x|x2-x-6<0},B={x|2x<1},則A∩B=

( )

A.(-∞,3) B.(0,3)

C.(-2,3) D.(-2,0)

2.已知i為虛數單位,zi=1+5i,則復數z的共軛復數為

( )

A.1+5i B.1-5i C.5+i D.5-i

( )

4.夜跑是比較流行的一項健身運動,某地政府圍繞邊長為400米的正方形湖泊修建了一條跑道,甲、乙兩人各自圍繞湖泊進行夜跑,當甲跑到正方形跑道的一個頂角,此時乙距離甲的距離大于500米的概率等于

( )

( )

6.(x-3y)(x-2y)6的展開式中x4y3的系數為

( )

A.-80 B.-40 C.40 D.-340

7.魏晉時數學家劉徽在他的著作《九章算術注》中,稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”.劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比為π∶4；若已知正方體的棱長為2,則“牟合方蓋”的體積為

( )

8.如圖,程序框圖所描述的算法是計算斐波那契數列中的項,若輸入的k=20,則輸出n的值為

( )

A.7 B.8 C.9 D.10

( )

A.5

C.6

10.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為

( )

( )

12.若函數f(x)=ex與函數g(x)=-x2+2x+a(x<0)有公切線,則實數a的取值范圍是

( )

A.(-∞,2-2ln2) B.(-1,-2ln2)

C.(-∞,-1) D.(-∞,ln(2e))

二、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題,考生根據要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

已知函數f(x)=x2-5x+1,數列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在f(x)的圖象上.

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)求數列{n·2an}的前n項和Tn.

18.(12分)

如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,四邊形ABCD為等腰梯形,四邊形ABFE為矩形,且平面ABFE⊥平面ABCD,BC=CD=AE=1,AB=2.

(Ⅰ)求證:平面BDF⊥平面ADE；

(Ⅱ)求二面角B-DF-E的余弦值.

19.(12分)

2017年5月,來自“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國的“新四大發明”：高鐵、支付寶、共享單車和網購.共享單車的產生使得城市交通“最后一公里”出行難題有望進一步改善,共享單車的火熱也帶動了自行車行業的迅猛發展,產能、質量、設計成為共享單車考量合作自行車廠商的主要標準.已知某自行車廠生產不同規格的一種自行車零件,根據檢測標準,其合格產品的質量y(g)與尺寸x(mm)存在一定關系,現收集了7組觀測數據列于下表中,并作出散點圖如下.

x20222426283032y610212464113322z=lny1.792.303.043.184.164.735.77

參考數據：

xyz∑7i=1(xi-x)2∑7i=1(zi-z)(xi-x)26803.5711235.84

(Ⅰ)直接根據散點圖判斷,y=a+bx與y=ec+dx哪一個適宜作為質量y(g)與尺寸x(mm)的回歸方程類型？

(Ⅱ)根據(Ⅰ)的判斷,求y關于x的回歸方程；

20.(12分)

已知動圓P過點A(2,0),且被y軸截得的線段長為4,記動圓圓心P的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求曲線C的方程；

21.(12分)

已知函數f(x)=xex+a(x+1)2(其中e為自然對數的底數).

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間；

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題記分.

22.[選修4-4：坐標系與參數方程](10分)

(Ⅰ)求圓C的直角坐標方程；

(Ⅱ)若直線l與圓C交于A,B兩點,求弦長|AB|.

23.[選修4-5：不等式選講](10分)

已知函數f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；

參考答案

1.D2.C3.C4.D5.C6.D7.C8.B9.B

17.解：(Ⅰ)因為(n,Sn)在函數f(x)的圖象上,

所以Sn=n2-5n+1.

當n=1時,a1=S1=1-5+1=-3；

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-5n+1-[(n-1)2-5(n-1)+1]=2n-6,

當n=1時,a1不滿足an=2n-6,

(6分)

當n=1時，T1滿足題意.

(12分)

18.解：(Ⅰ)證明：因為四邊形ABFE為矩形,

所以EA⊥AB,

由平面ABFE⊥平面ABCD,所以EA⊥平面ABCD,

又BD?平面ABCD,所以EA⊥BD.

過點D作DG⊥AB交AB于點G,

所以∠ADB=90°,即AD⊥BD.

由AD∩AE=A,所以BD⊥平面ADE.

由BD?平面BDF,所以平面BDF⊥平面ADE.

(5分)

(Ⅱ)以A點為坐標原點,AB所在直線為y軸,AE所在直線為z軸,建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示,

設n1=(x,y,z)為平面EDF的法向量,

設n2=(x1,y1,z1)為平面BDF的法向量,

(12分)

19.解：(Ⅰ)根據散點圖判斷,y=ec+dx更適宜作為質量y(g)與尺寸x(mm)的回歸方程類型.

(3分)

(Ⅱ)設y=ec+dx,z=lny,則z=c+dx,

所以y=e0.32x-4.75.

(7分)

(Ⅲ)由表中數據知,x可取20,22,24,26,即抽取的7件合格產品中優等品有4件,所以ξ的可能取值是0,1,2,3.

所以ξ的分布列為

ξ0123P13512351835435

(12分)

20.解：(Ⅰ)設動圓圓心的坐標為P(x,y),

由題意可得22+x2=(x-2)2+y2,化簡得y2=4x,

所以曲線C的方程為y2=4x.

(4分)

當y0>0時,y1=y0-2,y2=y0+2,

當y0<0時,y1=y0+2,y2=y0-2,

(12分)

21.解：(Ⅰ)因為f(x)=xex+a(x+1)2,

所以f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)=(x+1)(ex+2a),

①當a≥0時,ex+2a>0,

令f′(x)>0,解得x>-1；令f′(x)<0,解得x<-1；

令f′(x)>0,解得x>-1或x

令f′(x)<0,解得ln(-2a)

令f′(x)>0,解得x>ln(-2a)或x<-1；

令f′(x)<0,解得-1

綜上，當a≥0時,f(x)的單調遞增區間是(-1,+∞)，單調遞減區間為(-∞,-1)；

(5分)

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可知,當a>0時,f(x)在區間(-1,+∞)上單調遞增,在區間(-∞,-1)上單調遞減,不妨設x1<-1

令F(x)=f(x)-f(-2-x)

=xex+a(x+1)2-[(-2-x)e-2-x+a(-x-1)2]

=xex+(x+2)e-2-x(x<-1),

因為F′(x)=(x+1)(ex-e-x-2)>0,

所以F(x)在(-∞,-1)上單調遞增,

所以F(x)

所以f(x)

所以f(x2)=0=f(x1)

因為-2-x1>-1,x2>-1,f(x)在(-1,+∞)上單調遞增,所以x2<-2-x1,

(12分)

22.解：(Ⅰ)圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ,

可化為ρ2=4ρcosθ,

可得其直角坐標方程x2+y2-4x=0,

即(x-2)2+y2=4.

(5分)

設A,B對應的參數分別為t1,t2,

(10分)

故f(x)≥3的解集為{x|x≤-1或x≥1}.

(5分)

(10分)