例析數學核心素養在數列中的滲透

山東 王中華

基于學生核心素養的教育改革逐漸引起全球關注，成為許多國家或地區制定教育政策、開展教育實踐的基礎.現代數學的發展表明，數學的研究源于對現實世界的抽象，通過基于抽象結構的符號運算、形式推理、一般結論等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系與規律．數學素養也是現代社會每一個公民應該具備的基本素養．教育部《普通高中數學課程標準》修訂組組長王尚志教授在“關于普通高中數學課程標準修訂”中，提出中國學生在數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養，用數學的眼光觀察世界，發展數學抽象、直觀想象素養；用數學的思維分析世界，發展邏輯推理、數學運算素養；用數學的語言表達世界，發展數學建模、數據分析素養．增強創新意識和數學應用能力．數列來源于人類的活動中,在現實生活中有著廣泛的應用,是培養學生核心素養的重要題材,本文以數列為背景談談數學核心素養的應用與滲透.

一、數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程．數學抽象是數學的三大特征之一,可謂核心中的“核心”,數學抽象表現在數學概念、命題、方法和體系等四個方面.數學抽象的培養應當貫穿于數學學習的始終.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.

例1.(2017·全國卷Ⅰ理·12)幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是

( )

A.440_____________________ B.330

C.220 D.110

【解析】設首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，依此類推．

解得n≥14且n∈N*，即N出現在第13組之后,

即2k-1=2+n(k∈N*，n≥14)，k=log2(n+3),

解得n的最小值為n=29，k=5，

【名師點睛】本題非常巧妙的將實際問題和數列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數列的特征，進而判斷出該數列的通項與求和.另外，本題的難點在于數列里面套數列，第一個數列的和又作為下一個數列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數列中，需要進行判斷.本例的解題關鍵是對新的數學情景的理解及對新概念的提煉升華，考查考生的數學抽象素養．

變式訓練：

( )

A.0 B.-1

C.1 D.2

二、邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程．主要包括兩類：一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內成立的命題的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內也成立的推理，推理形式主要有演繹推理．在實際情境和數學情境中，能夠發現蘊含的數學規律，提出有價值的數學問題，并予以數學表達；能夠理解歸納、類比是發現和提出數學命題的重要途徑．對于給定的與學過知識有一些關聯的數學命題，能夠通過對條件與結果的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準確的數學語言表述論證過程．

例2.(1)(2017·河北衡水中學高三摸底聯考·16)如圖是網絡工作者經常用來解釋網絡運作的蛇形模型：數字1出現在第1行;數字2,3出現在第2行;數字6,5,4(從左至右)出現在第3行;數字7,8,9,10出現在第4行，依此類推，則第20行從左至右的第4個數字應是_______．

(2)四面體數為：1，4，10，20，35，56，84，120，….它們是恰能壘成正四面體堆垛的大小相同的小球的個數，猜想通項公式為.

【名師點睛】第(1)題考查的是歸納推理、等差數列的前n項和公式；歸納推理是從特殊事例中歸納出一般性結論的推理，解題關鍵點在于從有限的特殊事例中尋找其中的規律，要注意從運算的過程中去尋找，注意運算的準確性.第(2)題既有分解的思想又有組合的意識,收到了避繁就簡,化難為易的效果.利用分解或組合的方法可以把一些看似無規律無目標的問題變得有規律可循，有了明確的解題目標.把陌生的問題轉化為熟悉的數學模型，化不可解、難解的問題為可解、易解的問題.

變式訓練：

下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規律，并依此規律，寫出第n個圖形中小正方形的個數是________.

三、數學建模

數學建模是對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決問題的過程．具體表現為：在實際情境中，從數學的視角提出問題、分析問題、表達問題、構建模型、求解結論、驗證結果、改進模型，最終得到符合實際的結果．新課程標準對高考水平數學建模要求：能夠在熟悉的情境中，發現問題、轉化為數學問題，知道數學問題的價值與作用．能夠選擇合適的數學模型表達所要解決的數學問題；理解模型中參數的意義，知道如何確定參數，建立模型，求解模型；能夠根據問題的實際意義檢驗結果，完善模型，解決問題．能夠在類似的情境中，通過建模的過程，理解建模的意義．能夠運用數學語言，表述數學建模過程中的問題以及解決問題的過程和結果，形成研究報告，展示研究成果．在交流的過程中，能夠用模型的思想說明問題．

例3.(1)(2017·福建4月質檢)某公司生產一種產品，第一年投入資金1 000萬元，出售產品收入40萬元，預計以后每年的投入資金是上一年的一半，出售產品所得收入比上一年多80萬元，同時，當預計投入的資金低于20萬元時，就按20萬元投入，且當年出售產品收入與上一年相等.

(Ⅰ)求第n年的預計投入資金與出售產品的收入；

(Ⅱ)預計從哪一年起該公司開始盈利？(注：盈利是指總收入大于總投入)

【解析】(1)(Ⅰ)設第n年的投入資金和收入金額分別為an萬元，bn萬元.

依題意得，當投入的資金不低于20萬元，

令an<20,得2n-1>50,解得n≥7,

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知當1≤n≤6時，總利潤

f(3)<0,f(4)>0，

所以，當2≤n≤3時，Sn-1>Sn；

當4≤n≤6時，Sn-1

又因為S1<0,S6=-528.75<0，

所以，當1≤n≤6時，Sn<0，即前6年未盈利，

當n≥7時，Sn=S6+(b7-a7)+(b8-a8)+…+(bn-an)=-528.75+420(n-6)，令Sn>0，得n≥8.

綜上，預計該公司從第8年起開始盈利.

(2)因為函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個零點1，2，

所以f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x2-3x+2),

即數列{an}為等比數列，且通項公式為an=2n.

變式訓練：

(2017·四川資陽4月模擬)我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲(水生植物名)生一日，長三尺；莞(植物名，俗稱水蔥、席子草)生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為________日．

(結果保留一位小數，參考數據：lg2≈0.30，lg3≈0.48)

解得2n=6或2n=1(舍去)．

四、數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題．主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果．新課程標準對高考水平數學運算要求：能夠在數學情境中明晰運算對象，提出運算問題，探究運算的方向和目標．能夠針對運算問題，正確分析運算條件、確定運算方向；能夠合理選擇運算方法、設計運算程序，綜合利用運算法則解決問題．能夠理解運算法則與運算方法之間的關系，知道運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用．在交流的過程中，能夠借助運算探討問題．

(Ⅰ)求數列{an}和數列{bn}的通項公式；

(Ⅱ)將數列{bn}中的第a1項，第a2項，第a3項，……，第an項刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數列{cn}，求數列{cn}的前2 013項和.

因為b2,b4為方程x2-20x+64=0的兩個不相等的實數根.

所以b2+b4=20，b2·b4=64,

又因為數列{bn}為公比大于1的等比數列，

解得b2=4，b4=16,所以bn=2n.

(Ⅱ)由題知將數列{bn}中的第3項、第6項、第9項……刪去后構成的新數列{cn}中的奇數項與偶數項仍分別成等比數列，首項分別是b1=2，b2=4,公比均是8,

T2013=(c1+c3+c5+…+c2013)+(c2+c4+c6+…+c2012)

【名師點睛】課程標準及高考大綱對數學運算的要求較高，有三個層次：第一層次是“會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理”，即運算的正確性；第二層次是“能根據問題的條件，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算”，即運算的合理性和迅速性；第三層次是“運算求解能力是思維能力與運算技能的結合”，即運算的思維性.如本例在求解與等比數列有關的問題時，除了要靈活地運用定義和公式外，還要注意挖掘隱含條件，利用性質，以減少運算量提高解題速度．方程觀點以及基本量(首項和公比)思想是求解等比數列問題的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五個量中，知三求二．在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形而導致解題失誤．

變式訓練：

設n∈N*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1，2)處的切線與x軸交點的橫坐標.

(Ⅰ)求數列{xn}的通項公式；

【解析】(Ⅰ)y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1，

曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線斜率為2n+2.

從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1).令y=0，

(Ⅱ)證明：由題設和(Ⅰ)中的計算結果知

五、直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題．主要包括：利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路．新課程標準對高考水平直觀想象要求：能夠在實際的數學情境中，想象并構建相應的幾何圖形，借助圖形提出數學問題，發現圖形與圖形、圖形與數量的關系，探索圖形的運動規律．能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量關系的基本方法；能夠借助圖形性質探索數學規律；能夠通過計算、分析、論證，解決實際問題或數學問題．能夠通過直觀想象提出數學問題；能夠用圖形探索解決問題的思路；能夠形成數形結合的思想，體會幾何直觀的作用和意義．在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數學問題．

例5.已知數列{an}.

(Ⅰ)若an=n2-5n+4，

(ⅰ)數列中有多少項是負數？

(ⅱ)n為何值時，an有最小值？并求出最小值.

(Ⅱ)若an=n2+kn+4且對于n∈N*，都有an+1>an.求實數k的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)(ⅰ)由n2-5n+4<0，解得1

因為n∈N*，所以n=2,3.

所以數列{an}中有兩項是負數，即為a2,a3.

(ⅱ)解法一:可將an看作函數f(n)=n2-5n+4(n∈N*),

函數f(n)開口向上，在對稱軸n=2.5上有最小值.

又n∈N*，所以當n=2,n=3時，an有最小值，

最小值為a2=a3=-2.

又n∈N*，所以當n=2,n=3時，an有最小值，

最小值為a2=a3=-2.

(Ⅱ)若an=n2+kn+4且對于n∈N*，都有an+1>an，

則an是遞增數列.

可將an看作函數f(n)=n2+kn+4(n∈N*).

變式訓練：

(1)若an=3n2-(9+a)n+6+2a(其中a為常數)，若a6和a7兩項中至少有一項是an的最小值，則實數a的取值范圍？

(2)某棵果樹前n年的總產量Sn與n之間的關系如圖所示，從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高，m的值為

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

六、數據分析

數據分析是指從數據中獲得有用信息，形成知識的過程．主要包括：收集數據提取信息，利用圖表展示數據，構建模型分析數據，解釋數據蘊含的結論．新課程標準要求學生能夠用適當的統計分析方法對收集來的大量數據進行分析，提取有用信息和形成結論而對數據加以詳細研究和概括總結的過程.這一過程也是質量管理體系的支持過程.在實際應用中，數據分析可幫助人們作出判斷，以便采取適當行動.

例6.將正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)個全等的小正三角形(圖1，圖2分別給出了n=2,3的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(當數的個數不少于3時)都分別依次成等差數列，若頂點A,B,C處的三個數互不相同且和為1,記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)=________，……，f(n)=________.

【解析】當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數用小寫字母表示，即由條件知a+b+c=1,x1+x2=a+b,y1+y2=b+c,z1+z2=c+a,

x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2,

2g=x1+y2=x2+z1=y1+z2,

6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2,

進一步可求得f(4)=5.由上知f(1)中有三個數相加，f(2)中有6個數相加，f(3)中共有10個數相加，f(4)中有15個數相加，以此類推，若f(n-1)中有an-1(n>1)個數相加，可得f(n)中有(an-1+n+1)個數相加，

【名師點睛】解決圖表類問題時，應正確理解圖表中各量的意義，從圖形中提取有用信息,通過圖表掌握信息是解決該類問題的關鍵．本題主要考查考生的歸納推理能力及等差數列的求和,要求考生能根據題目中的敘述正確地把握題目所包含的數學知識,然后化歸為數列求和問題來求解.

變式訓練：