奏響“創(chuàng)新型解析”的集結(jié)號

山東 尹承利

由《教學(xué)考試》雜志社主辦的原創(chuàng)研發(fā)項目，為我們提供了廣闊的教育、教研平臺，基于學(xué)生思維過程展開的“創(chuàng)新型解析”模式，猶如出水的芙蓉，為“原創(chuàng)、研發(fā)”增添了一道亮麗的風(fēng)景線，它更像聲聲催人奮進(jìn)的戰(zhàn)鼓，為老師們的自我展示奏響了集結(jié)號.“讓解析成為原創(chuàng)題的閃光點(diǎn)和深入點(diǎn)”已成為我們數(shù)學(xué)原創(chuàng)研發(fā)團(tuán)隊老師們的共識！那么，如何進(jìn)行原創(chuàng)題的創(chuàng)新解析？又以什么樣的形式創(chuàng)新解析？筆者就參與“創(chuàng)新型解析”的過程和實踐，并結(jié)合第二階段的原創(chuàng)試題，談一談感悟和認(rèn)識.

一、創(chuàng)新模式，花開別樣

“堅持能力立意、訴諸試題本源、突破傳統(tǒng)模式”應(yīng)是“創(chuàng)新型解析”的切入點(diǎn)，“以生為本、展示能力遞進(jìn)關(guān)系、促進(jìn)學(xué)生思維素養(yǎng)的發(fā)展”應(yīng)是“創(chuàng)新型解析”的落腳點(diǎn).

1.客觀題模式

( )

A.(1,2)

B.[-2,2)

C.[-2,2]

D.(-2,2)

【創(chuàng)新解析】

【備考點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是先由正弦定理表示b,c，再通過三角恒等變換將b-c表示為角B的函數(shù)，再求最值.解決此類題要掌握正余弦定理，熟練邊角互化以及三角公式的靈活應(yīng)用.

示例2.(原創(chuàng)卷)已知圓C的圓心在第一象限，若圓C與y軸相切于點(diǎn)A(0,1)，與直線x-y+1=0的一個交點(diǎn)為B，|AB|=2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

( )

【創(chuàng)新解析】

設(shè)圓C的半徑為r，

設(shè)出圓心坐標(biāo)

【備考點(diǎn)睛】解決此類題的關(guān)鍵是設(shè)出所求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，列出方程(組)，即可解得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【創(chuàng)新解析】

因為|a|=1，|b|=2，所以|a+b|2=

(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×1×

a2和數(shù)量積

定義轉(zhuǎn)化

【備考點(diǎn)睛】本題涉及到兩個向量的模和夾角，利用向量模的公式、兩個向量數(shù)量積的定義及|a|2=a2的轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵.

2.解答題模式

示例4.(原創(chuàng)卷)已知動圓P過點(diǎn)A(2,0)，且被y軸截得的線段長為4，記動圓圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

【創(chuàng)新解析】

當(dāng)y0>0時，y1=y0-2，y2=y0+2.

【備考點(diǎn)晴】解析幾何的核心就是用方程的思想研究曲線，用曲線的性質(zhì)研究方程.軌跡(曲線)問題正是體現(xiàn)這一思想的重要表現(xiàn)形式，探求軌跡(曲線)的方程是解析幾何的基本問題之一，歷年都是高考的熱點(diǎn).求軌跡(曲線)方程的常用方法有：直接法、代入法、定義法、參數(shù)法、交軌法等.

解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路是在深刻認(rèn)識運(yùn)動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.

示例5.(原創(chuàng)卷)已知函數(shù)f(x)=xex+a(x+1)2，a∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

【創(chuàng)新解析】

(1)因為f(x)=xex+a(x+1)2，所以

求導(dǎo)

①當(dāng)a≥0時，ex+2a>0，

令f′(x)>0，解得x>-1；

令f′(x)<0，解得x<-1.

兩類討論

準(zhǔn)確、全

面寫出單

調(diào)區(qū)間

(2)當(dāng)a>0時，由(1)可知，f′(x)=(x+1)(ex+2a)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)x1<-1

令F(x)=f(x)-f(-2-

x)=xex+a(x+1)2-[(-2-

x)e-2-x+a(-x-1)2]=xex+

0，亦即證x1<-2-x2

因為F′(x)=(x+1)(ex-

e-x-2)>0，所以F(x)在(-∞,

-1)上單調(diào)遞增，所以

調(diào)性，進(jìn)而確定出

F(x)的范圍

所以f(x)

x)(x<-1)，所以f(x1)<

x)<0，代換得到f(x1)<

f(-2-x1)

【備考點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②對f(x)求導(dǎo)；③令f′(x)>0，解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間；令f′(x)<0，解不等式得x的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)f(x)的極值及最值(閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小).

二、加選條目，錦上添花

解析后的“加選條目”，既是對解析的進(jìn)一步深化，又是一個再創(chuàng)造的過程.通過添加知識拓展、方法歸納、易錯點(diǎn)撥、課本溯源、變式探究、考向分析及鏈接高考等欄目，啟迪、引導(dǎo)學(xué)生拓展思維，達(dá)到由此及彼、觸類旁通，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

示例6.(原創(chuàng)卷)復(fù)數(shù)z滿足z·i=3-i，則復(fù)數(shù)z的虛部為

( )

A.-1 B.3 C.-3 D.-3i

【考向分析】對于復(fù)數(shù)、幾何表示、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等等基本概念和運(yùn)算都是核心，可能沿襲這樣的思路，in沒有考查過，這需要引起注意.

示例7.(見示例1).

【知識拓展】輔助角公式：

示例8.(見示例2).

【方法歸納】求解直線與圓的位置關(guān)系問題時，為避免計算量過大，要數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).比如，圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上；計算弦長時，可用半徑、弦心距、半弦長構(gòu)成直角三角形；涉及到圓的切線時，要考慮過切點(diǎn)與切線垂直的半徑等.

【變式探究】若圓C與y軸相切于點(diǎn)A(0,1)，與直線x-y+1=0的一個交點(diǎn)為B，|AB|=2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______.

【創(chuàng)新解析】

三、創(chuàng)新解析，綿綿未了