巧用“對稱美”，提高解題效率

浙江省慈溪市逍林中學 宓武躍

有位數學家說過：“數學具有至高的美，一種冷而嚴肅的美。”我們利用對稱美指導解題，不僅可以提高解題能力，而且可以培養學生的創造性思維能力和提高學生的審美能力。在問題解決過程中，若能從應用數學審美的角度出發，審視問題結構的對稱性，追求問題解決方案的簡單性、新穎性，這對于誘發學生的求知欲，激發他們的學習興趣，提高學習效率，培養創造性思維能力將起到重要作用。

一、對稱美在高中數學中的應用欣賞

1.已知：△ABC的內切圓與外接圓的半徑分比別為r和R，則r和R比值等于（ ）

【解析】 三角形的邊a，b，c或角A，B，C對r和R的影響是相同的， r和R不可能對三角形的某一條邊或某個角有選擇或特別偏重，因此在比值的表達式中，必有邊a，b，c或角A，B，C的輪換對稱，因此C是正確的。

2.已知甲、乙、丙三人在3天節日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率為________。

【解析】本題考查的是古典概型，我們可以將甲、乙、丙三人排序，共6種不同的情況，并且這6種情況是等可能的，其中甲排在乙前面的共有3種情況，因而概率為其實，我們看甲和乙這兩個人，他們在這個事件中的地位是相同的，因而可以認為甲排在乙前面和乙排在甲前面的概率應該是相同的，而這兩種情形構成了整個排序值班事件，故甲排在乙前面和乙排在甲前面值班的概率都為

二、巧用對稱美，解決最值問題

【解析】本題是基本不等式中的一個基本題型“和定積最大”，用基本不等式很容易解決：當且僅當時等號成立。我們也可以由等式得到于是本題可以轉化為二次函數求值域題型，即在區間上的最大值，此處不加贅述。如果作為填空題，我們不妨仔細觀察a+b=1這個等式，如果將a換成b，或將b換成a，等式并沒有發生變化，所求量ab也沒有發生變化，即本題中我們可以認為，a和b的地位是相同的，即本文所指的它們是廣義的對稱關系。既然地位相等，那么顯然出題者不能對a和b中的任何一個有所偏袒，因而它們應該相等，即

【解析】由題意AD=2c豎直放置，BC=2水平放置，AB+BD可以看成總長為2a的線段，AC+CD也可以看成總長為2a的線段，水平棒BC兩端分別在兩條線段上，且使線段繃直，水平棒上下移動，構

成三棱錐。那么棒BC是靠向點D體積大，還是靠向點A體積大？根據對稱性知：誰也不偏袒，剛好處于中間時，體積最大。此時AB=BD=AC=CD=a，體積最大值易求。

三、巧用對稱美，解決定點（值）問題

（1）求橢圓E的方程。

【解析】 本題第二小題應用對稱性得出定點在x軸上，是解決本題的關鍵。有些數學問題可以根據其對稱性先預測結果，再進行證明達到事半功倍的效果。

（1） 略。

因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0），

所以m≠0且Δ=0，

因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P（x0，y0），

所以m≠0且Δ=0，

即64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，化簡得4k2-m2+3=0。（＊）

假設平面內存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上。

愛美之心，人皆有之。數學中不缺少美，而是缺少能發現美的眼睛。有些數學問題若用對稱的眼光去觀察、審視， 合理利用對稱美，往往能誘發解題靈感，簡化解題過程，提高效率。