探討函數(shù)的最小值

江蘇省淮州中學(xué) 戚加國(guó)

有這樣一道題目：

象如下：

【探索】

是否還有其他的解法？

上述結(jié)論是否具有某種規(guī)律可循？如果推廣到一般情況，即出現(xiàn)n個(gè)絕對(duì)值時(shí)，它的最小值又是多少？此時(shí)x等于多少？

【推廣】

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

由幾何意義知：

此題也可以利用函數(shù)的圖象進(jìn)行探討：

分類(lèi)討論知：f(x)的圖象分為n+1段，左側(cè)第i個(gè)區(qū)間與右側(cè)的第i個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相反。其圖象如下：

例2 辦公樓共23層，現(xiàn)每層派一人集中到第k層開(kāi)會(huì)，要使這23位參加會(huì)議的人員上下樓所走路程總和最少，則

分析：設(shè)所有與會(huì)者所走的樓層數(shù)總和為y，則：

∵1＜2＜…＜23， 而23為奇數(shù)，∴當(dāng)k=12時(shí)，y取最小值。

例3 （淮安市2011屆高三二模）已知：f（x）=|x+1|+|x+2|+…|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|，且則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和為

由①得：a=1或a=3;由②得a=2。所以滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和為6。