一師一優課活動之《余弦定理》的兩次教學設計的反思

江蘇省蘇州市吳中區木瀆金山高級中學 姜 慧

教學設計即備課，百度稱教學設計是根據課程標準的要求和教學對象的特點，將教學諸要素有序安排，確定合適的教學方案的設想和計劃，一般包括教學目標、教學重難點、教學方法、教學步驟與時間分配等環節。具體來說，就是教師在實施教學之前，為教學目標所設計的一些策略，這里要考慮教材所涉及的知識點、學生的認知程度、最近發展區，教學設計主要包括教學目標、教材的重難點，更重要的是教學過程的設計。

去年就《余弦定理》的第一課時，我在同一個班上了兩次，前后間隔一個月。第一次的授課時間是開學的第一周，學習對象是高一的學生，他們進入高中的第二學期，對三角也有了一定的認識，看到正弦和余弦的符號不會陌生，同時，本節課也是繼正弦定理解三角形之后的內容，可視為在解斜三角形問題上對正弦定理的一個補充（初學者可理解成正弦定理不能解決的斜三角形考慮余弦定理），向量法推導正弦定理和余弦定理是本節的重點，也是難點，向量的三角形法則和向量數量化的相關知識在第一學期也都學過，在學習正弦定理的推導時也跟學生一起探索過，只要老師搭好腳手架，相信學生用向量法證明余弦定理能突破的。

教材內容安排在必修五的第一章，是三角在圖象中的具體應用，體現了高中數學培養學生數形結合思想的解題策略的目的。

基于以上的學生情況及教材內容的分析，匆忙的第一次授課設計如下：

【問題情景】

問題1：請同學回憶前面學的正弦定理內容：解哪些類型的斜三角形？

問題2：用正弦定理解斜三角形需要知道三角形的幾個條件？體現了什么樣的思想？

問題4：對這個向量的等式（向量的三角形法則）數量化得到正弦定理，請問除了這種方法，還有沒有其他途徑將向量數量化？

探索1：如何再一次將向量數量化，得到額外的驚喜？

問題1：思考正弦定理是怎么做到數量化的？（同乘三角形一條邊上的高所在的向量）老師幫助學生抓住關鍵詞，兩邊同乘一個向量。

問題2：這里除了乘高所在的向量外，還可以乘什么向量？

探索2：觀察余弦定理的結構特點。

探索3：余弦定理有什么作用呢？

例題1 在△ABC中。（1）已知b=3，c=1，A=60°，求a；（2）已知a=4，b=5，c=6，求sinA。

【設計意圖】例1的兩個題目主要是幫助學生記住余弦定理，了解余弦定理的簡單應用，已知兩邊及夾角和已知三邊的問題都可以通過余弦定理解決。通過規范的板書，規范此類題目的書寫。

例題2 A，B兩地之間隔著一個水塘（如圖），現選擇另一點C，測得CA=182m，CB=126m，∠ACB=63°，求A，B兩地之間的距離。（精確到1m，cos63°≈ 0.454）

【設計意圖】例2 是一個實際問題，解決實際問題高考必考，但在平時的訓練卻較少，所以借此機會訓練學生應用題的解題能力，順便記住余弦定理，用余弦定理。

課后，點評的老師普遍認為課堂內容簡單，容量少，整堂課平淡，雖說學生從課堂上獲得了余弦定理的內容和它的應用，但效果卻不是最優的，課后我也進行了認真的反思和二次備課。

情景創設中的問題過于單一，這節是用數解決形的一節，回憶時可請學生看著圖象，做到有圖有數，問題2 方程的思想學生根本沒有感受到，可以在題目中體會正弦定理的這一思想。關于正弦定理的推導，課本講了四個途徑，而向量法證明應該是重點，所以這個問題的設置應該有的放矢，范圍不能太大。例題方面的設置也應該遞進式，在掌握余弦定理的同時，學生的解題能力需要日積月累地慢慢練習、提升。問題的設置不能停留在學生已有認知里，學生應該在踮一踮和跳一跳的過程中獲得成就感，把未知變成已知的成就感，提高學習數學的興趣。

有了以上的認識，我重新認真研讀了新課標及本節內容在整個高中教材的地位及作用，仔細研究了班級學生已有的認知水平、自我獲取知識的能力后，我對這節課重新進行了設計，而且在一師一優課活動中用上了。

課堂引入的時候，考慮到復習正弦定理，本節課從東山鎮的兩個碼頭：長圻碼頭和陸巷碼頭到三山島之間的距離問題展開，請同學們根據圖象，結合正弦定理自己設計問題。

【學生活動1】根據實際圖形，結合正弦定理，自己設計解斜三角形問題，合作交流。（在實際圖象中，學生很快能設計出已知兩邊及一邊的對角和已知兩角及一邊的三角形問題，并能準確說出解題的步驟）

探索1：將學生所設計的題目稍作變動，改為已知兩邊及夾角，解三角形。

例1如右圖，在三角形ABC中，已知AB=7，AC=5.5，∠BAC=25°，求BC長。（cos25°≈0.91，結果保留整數）

【設計意圖】復習舊知，引出新內容，激發學生的興趣。

問題1：這個題目用正弦定理能否解決？我們需要學習新的解斜三角形的知識。

問題3：還可以怎么數量化？稍等片刻，學生若沒有頭緒，可以提醒向量的運算讓學生能自己將未知的知識轉化成已知的知識。

【學生活動2】同桌商量向量數量化的方法并運算，看看能得到什么結果。

解斜三角形的又一個重要定理:余弦定理。

公式具有輪換對稱之美。

【學生活動4】回到前面的問題，學生自己利用公式計算：在△ABC中，已知三角形的三條邊a=4，b=5，c=6，求sinA。

變式練習： 在△ABC中, 角A，B，C所對的邊是a,b,c滿足等式求角C。

【設計意圖】例題1簡單，通過例題加深對余弦定理的記憶，了解余弦定理適合的兩類斜三角形：（1）已知兩邊及夾角，求第三邊和其他兩個角；（2）已知三邊，求三個角。變式重在考查學生對公式的形式上的認識，可直接套用公式，也可以將公式變形求解。

【小結】情景問題和例1分別解決了兩類斜三角形問題，已知兩邊和夾角及已知三邊的問題。

例3 利用余弦定理證明：在△ABC中，當∠C為銳角時，a2+b2＞c2； 當∠ C 為鈍角時，a2+b2＜c2。

【設計意圖】此題是勾股定理的變式，通過此題，學生可以明白勾股定理實際是余弦定理的特殊情況，從本質上掌握了余弦定理在解三角形中的實際用處。

【課堂練習】

1.在△ABC中。（1）已知B=60°，a=4，c=7，求b；（2）已知a=6，b=5,c=4，求△ABC最小角的余弦值。

2.在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝7，則△ABC是( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.無法確定

【設計意圖】這兩道課堂練習題主要是幫助學生鞏固余弦定理，要求學生根據條件迅速選擇正確的公式。第1題的第二小問跟例題比稍有提升，需要學生判斷求哪一個角，這里不是特殊角，所以不可能把三個角都解出來，當然，也可以通過余弦定理把三個角的余弦值求出來，通過比較余弦值得到最小角的余弦值，但這樣做既麻煩又易錯，所以最好的方法就是根據大邊對大角的原理找到最小角，然后有的放矢地用余弦定理，此題還為第2題做了鋪墊。而第2題的思考方式與上題類似，判斷形狀應該根據三角形的最大角，有了這樣明確的目標，結合余弦定理，此題也就迎刃而解了，當然也有學生用了例2的結論。

第二次上完課后，我找了部分同學了解情況，大家一致認為第二次的課堂更具有吸引力，有的同學認為是情景設計引人入勝，激發了學習的興趣；有的同學認為以題目帶復習正弦定理把學生的注意力牢牢抓住，整堂課沒有想過要走神；還有的同學認為余弦定理的輪換結構有意思，讓人有種想征服的欲望…….總之，大家一致認為第二次要比第一次多了很多收獲。

通過兩次教學設計，我感到通讀整個高中教材，研讀新課程標準的重要性，只有把握好教材，才能對知識點在整個教材中的地位及作用做到心中有數，才能設計出合理的教學設計。另一方面，學生才是課堂的主體，要能很好地駕馭課堂，一定要設計出適合學生的、自然的課堂，才能提高教學質量，提高學生學習的興趣。