有關(guān)橢圓參數(shù)方程具體應(yīng)用的一點(diǎn)思考

廣西來賓高級(jí)中學(xué) 羅黃玉

橢圓是高中數(shù)學(xué)在解析幾何這一模塊中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的一大常考題型。在有關(guān)橢圓參數(shù)方程的試題中，一個(gè)基本的思路是把參數(shù)方程化為普通方程，然后使用我們熟悉的平面解析幾何知識(shí)解決問題。但是，當(dāng)問題涉及橢圓上的點(diǎn)的最值問題、定值問題、軌跡問題等，如果直接利用橢圓的普通方程去解決問題，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算煩瑣、耗時(shí)費(fèi)力，甚至陷入困境。這時(shí)候可考慮利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行處理，把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用橢圓的參數(shù)方程表示出來，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題進(jìn)行求解，利用三角函數(shù)的有界性，可以方便快捷地解決問題。本人通過對(duì)這幾年的高考題總結(jié)歸納，淺談橢圓的參數(shù)方程在最值問題、定值問題、軌跡問題中的具體運(yùn)用。

一、最值問題

對(duì)有關(guān)橢圓的二元函數(shù)最值問題、距離的最值問題，都可以用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的最值問題，利用三角函數(shù)的有界性解決。

例2 【2017新課標(biāo)I】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為直線l的參數(shù)方程為若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為 ，求a。

解：直線l的普通方程為x+4y-a-4=0，故C上的點(diǎn)M(3cosθ，sinθ)到 l的距離為：

二、軌跡問題

對(duì)于涉及橢圓上的點(diǎn)的軌跡方程，運(yùn)用橢圓參數(shù)方程表示動(dòng)點(diǎn)代入關(guān)系式，得動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，再把動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程消參化為普通方程即可。

三、定值問題

對(duì)有關(guān)橢圓上的點(diǎn)的斜率問題，一般方法是把橢圓上的點(diǎn)用參數(shù)方程表示，把問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的方法加以整理。

又M,N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

由此得證。

通過對(duì)以上具體實(shí)例的探究，我們發(fā)現(xiàn)，利用橢圓的參數(shù)方程解決有關(guān)最值問題、軌跡問題和定值證明問題，可以把問題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的三角函數(shù)問題來解決，不僅能夠避免紛繁復(fù)雜的計(jì)算和化簡(jiǎn)，而且更加高效和快捷。因此，掌握好橢圓的參數(shù)方程并能靈活運(yùn)用，帶給我們的不僅僅是一種方式或方法，更是一種意識(shí)、一種思想，拓寬了我們的思考問題、解決問題的渠道，同時(shí)為我們解決有關(guān)圓錐曲線的問題提供了參考。